Beschouw een functie A: R$\to$R^(n·n): t$\to$A(t). Voor elke t $\in$ R is A(t) dus een (n·n)-matrix waarvan de matrixelementen, we noteren ze met ai,j(t) (met i,j= 1,...,n) van t afhangen. Met de functie A corresponderen er dus (n·n) functies ai,j: R$\to$R.We nemen aan dat elk van die functies afleidbaar is. Beschouw nu de functie D: R$\to$R: t$\to$D(t) = det(A(t)). Toon aan dat voor alle t$\in$ R geldt dat: D'(t) = det(a'1,1... a'i,n a2,1...a2,n . . an,1...an,n) +det(a1,1... a1,n a'2,1....a'2,n . . an,1.... an,n) +... +det(a1,1...a1,n a2,1....a2,n . . a'n,1...a'n,n)
Emma
Student universiteit België - donderdag 2 januari 2014
Antwoord
Dit bewijs je met behulp van de productregel voor differentieren.
Probeer eerst eens de gevallen $n=2$ en $n=3$ helemaal uit te schrijven om te zien hoe de gevraagde regel er uit ziet en gebruik de ontwikkel-definitie van de determinant.
Een net bewijs gaat met behulp van volledige inductie en door, bijvoorbeeld, naar de eerste rij te ontwikkelen.
