\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 65509

Re: Bewijs formule voor alle natuurlijke getallen

Dank voor je snelle reactie. Ik heb een slordigheidje begaan zie ik. De formule moet zijn 1x4+2x5+3x6+...+n(n+3)=\frac{1}{3}n(n+1)(n+5)

Herman
Student hbo - maandag 15 augustus 2011

Antwoord

Beste Herman,

Je kunt dit het beste m.b.v. volledige inductie bewijzen.
Mocht je niet bekend zijn met deze techniek, kun je bijvoorbeeld hier kijken.

Stelling: 1x4 + 2x5 + ... + n(n+3) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+5)

Bewijs: basisstap: voor n = 1 klopt de stelling, want 1x4 = 4 en \frac{1}{3}·1·2·6 = 4.
Stel nu (inductiehypothese) dat de formule klopt voor een zekere n, dan moeten we laten zien dat de formule ook klopt voor n + 1.

Als het voor n klopt dan weten we dat 1x4 + 2x5 + ... + n(n+3) = \frac{1}{3}n(n+1)(n+5). We moeten dus bewijzen dat 1x4 + 2x5 + ... + n(n+3) + (n+1)(n+4) = \frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+6).
Van het eerste stuk hebben we al aangenomen (inductiehypothese) dat gelijk aan \frac{1}{3}n(n+1)(n+5) was.
Dus we moeten eigenlijk aantonen dat \frac{1}{3}n(n+1)(n+5) + (n+1)(n+4) = \frac{1}{3}(n+1)(n+2)(n+6).

Dit kun je bijvoorbeeld aantonen door links en rechts (n+1) te 'isoleren'.
Laten we met het linkerlid beginnen.

(n+1) \cdot (\frac{1}{3}n(n+5) + n + 4) = (n+1) \cdot (\frac{1}{3}n^{2} + \frac{8}{3}n + 4).

Het rechterlid wordt (n+1) \cdot (\frac{1}{3}(n+2)(n+6)) = (n+1)\cdot(\frac{1}{3}n^{2} + \frac{8}{3}n + 4).

Het linker- en het rechterlid zijn dus gelijk en dus geldt de formule ook voor n + 1 en derhalve voor alle natuurlijke getallen.

Is alles duidelijk?

Groetjes,
Davy

Davy
maandag 15 augustus 2011

©2001-2025 WisFaq