\require{AMSmath}

inhoud van een doorgesneden ellipsoide

Stel dat ik een ellipsoide heb van een gekende grootte, dus ik weet de parameters a, b en c in x²/a² + y²/b² + z²/c² = 1. Ik wil weten wat de inhoud is van het deel van de ellipsoide dat boven een horizontaal vlak uitsteekt (z=d), maar ik weet op die punten niet wat a en b zijn (als ik d invul in de vergelijking, zit ik nog steeds met twee onbekenden). Ik weet dat de inhoud van een volledige ellipsoide 4/2[PI]abc is, maar ik weet niet wat ik nu verder moet met al die gegevens.

sandra
Student universiteit België - maandag 6 januari 2003

Antwoord

Hoi,

Je weet dat een ellips met vergelijking (x/a)²+(y/b)²=1 een oppervlakte pab heeft.

De ellipsoïde uit je opgave snijdt met een vlak z=z₀ in een ellips met vergelijking:
(x/a)²+(y/b)²+(z₀/c)²=1 of x²/(a².(c²-z₀²)/c²)+y²/(b².(c²-z₀²)/c²)=1.
Dit is dus een ellips met oppervlakte A(z₀)=p.sqrt(a².(c²-z₀²)/c²).sqrt(b².(c²-z₀²)/c²)=pab.(c²-z₀²)/c².

Het volume van de ellipsoïde tussen z=d en z=c is opgebouwd uit cilindrische schilletjes met een ellipsvormig grondvlak ter hoogte van z=z₀ en met volume dV(z₀)=A(z₀).dz₀ waarbij z₀ van d tot c loopt.

Je berekent dan heel makkelijk V(d)=int(dV(z),z=d..c). Je gaat na dat V(0)=2pabc/3. Dit is de halve ellipsoïde. Je gaat ook na dat V(-c)=4pabc/3, de hele ellipsoïde.

Groetjes,
Johan

andros
woensdag 8 januari 2003

©2001-2024 WisFaq