\require{AMSmath}

Opstellen DV voor oplossen suikerklontje

De volgende opgave kom ik niet helemaal uit:

Jan voegt een kubusvormig suikerklontje toe aan zijn kop koffie. Het klontje verliest daardoor massa, met een snelheid die op elk moment evenredig is met de oppervlakte van het klontje.

De afmetingen van het klontje verhouden zich als 2 : 2 : 1 (lengte : breedte : dikte). Het klontje heeft aan het begin een massa m₀ = 5 gram. De dichtheid van suiker bedraagt 1,6 gram per cm³.

a) vertaal bovenstaande gegevens in een differentiaalvergelijking.
b) los de DV op en presenteer een uitdrukking voor m als functie van de tijd.

Ik heb geprobeerd om de oppervlakte uit te drukken in m om zodoende een fatsoenlijke DV te krijgen, maar dat liep op niets uit.

Ferdy
Student hbo - zaterdag 17 april 2010

Antwoord

Op het eerste gezicht zou ik denken dat de oppervlakte gelijk is aan a·³Öm². Bedenk dat de afmetingen van het suikerklontje afhangen van de derdemachtswortel van de inhoud. De oppervlakte hangt dan weer af van de afmetingen in het kwadraat, zullen we maar zeggen...

Maar als je dat niet zo meteen ziet dan is het misschien niet zo'n gek idee om voor de afmetingen van het suikerklontje 2z, 2z en z te nemen. Je kunt dan m uitdrukken in z. Of ook z uitdrukken in m. De oppervlakte van het stuikerklontje kan je ook uidrukken in z. Omdat je z kan uitdrukken in m kan je de oppervlakte van het suikerklontje uitdrukken in m.

Je krijgt dan de volgende differentiaalvergelijking:

$
{{dm} \over {dt}} = c \cdot a \cdot \root 3 \of {m^2 }
$

Die 'a' moet je dan nog even uitrekenen en die c hangt af van de beginvoorwaarde. Als je DV oplost kan je daarna (0,5) invullen om de waarde van 'c' te bepalen.

Zou dat lukken denk je? Zo niet, dan maar even doorvragen!

WvR
zaterdag 17 april 2010

Re: Opstellen DV voor oplossen suikerklontje

©2001-2024 WisFaq