Ik heb een vraagje over vector ruimten, het is eigenlijk een oefening. Zelf ben ik er niet ver mee geraakt. De vraag luid als volgt: De set van alle continue rëele functies gedefinieerd op het gesloten interval [a,b] in is beschreven door C[a,b]. Deze set is een deelruimte van de vectorruimte van alle rëele functies op [a,b]
a. Welk feit over continuë functies zou moeten bewezen worden om aan te tonen dat C[a,b] een deelruimte is. (dit wordt veronderstelt in de vraag)
b. Toon aan dat {f in C[a,b]:f(a)=f(b)} is een deelruimte van C[a,b].
Voor a. dacht ikzelf het volgende: 1. 0 element van C 2. a en b elementen van C dan a+b element van C 3. a element van C dan r.a element van C (met r een scalar)
Alvast bedankt Bart
Bart H
Student Hoger Onderwijs België - zaterdag 31 mei 2008
Antwoord
Beste Bart,
Dat zijn inderdaad de juiste criteria, de laatste twee kan je samennemen als lineariteit.
De nulfunctie is continu, dus die zit al in C[a,b]. Verder weet je misschien (uit een cursus analyse?) dat een lineaire combinatie van continue functies, weer continu is.
Voor b: de nulfunctie voldoet alvast, want daar is f(a) = f(b) = 0. Neem vervolgens twee functies (f en g) die aan het gevraagde voldoen, ga na of een lineaire combinatie ook voldoet.
is beschreven door C[a,b]. Deze set is een deelruimte van de vectorruimte van alle rëele functies op [a,b] 