\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 43498

Re: Deellijn

Ik heb alle cosinusregels met elkaar gecombineerd, maar ik kom nooit het juiste antwoord uit. En ik weet niet waarvoor je de eigenschap van de deellijn nodig hebt, ik kan ze niet plaatsen in mijn bewerkingen.

Jeroen
3de graad ASO - zondag 12 november 2006

Antwoord

dag Jeroen,

Het is ook niet echt eenvoudig
OK, hier komt een mogelijke uitwerking.

Applet werkt niet meer.
Download het bestand.

Vanwege de eigenschap van de deellijn kun je stellen:
AD = k·b en BD = k·a (voor een zekere k).
Voor het gemak noem ik de helft van hoek C maar even x.
Pas nu de cosinusregel toe in de driehoeken ADC en BDC:
(1): k²b² = b² + d² - 2bd·cos(x)
(2): k²a² = a² + d² - 2ad·cos(x)
Aftrekken levert:
(3): k²(b²-a²) = b² - a² - 2d·cos(x)(b-a)
Dit kan (voor het geval dat a$\ne$b) vereenvoudigd worden door te delen door b-a:
(4): k²(b+a) = b + a - 2d·cos(x)

We kunnen ook (1) delen door b, en (2) delen door a, (a=0 of b=0 is flauw) en deze vergelijkingen aftrekken. Dat levert:
(5): k²(b-a) = b - a + d²(¹/_b - ¹/_a)
Uit deze laatste vergelijking vinden we:
(6): k² = 1 - ^d2/_ab
Dit kunnen we substitueren in (4), zodat we alleen nog een vergelijking overhouden in d (k is geëlimineerd).
Het resultaat is een vergelijking die we door d kunnen delen (d=0 is flauw).
Je zult zien dat de oplossing van deze vergelijking juist de formule is die je moest aantonen.
Bekijk zelf nog even het geval a=b.
groet,

Anneke
maandag 13 november 2006

©2001-2024 WisFaq