\require{AMSmath}

Dit is een reactie op vraag 42747

Re: Re: Homogene differentiaalvgl met reële constante coëff van de laagste orde

Dag Tom,
In elk geval bedankt voor je snelle antwoord ! Ik heb helaas nog een aantal bemerkingen...

(1) je spreekt van constanten bepalen via stelsel enz maar de waarden van c1,c2, … kan ik inderdaad al uit de gegevens afleiden nl
c1= 0, c2=0, c3=1 , c4=1, c5=0

we echter de voorwaarden voor y(0)=… y’(0)=… nodig (dat hadden we in elk geval tijdens de les zo gedaan…. Tja…)

dus voor
y(x)=c1 + c2x + c3*x² + c4*cosx*e^2x + c5*sinx*e^2x
y(0)=c1 + c4 = 1

y’(x)=c2 + 2*c3x +c4*(2cosx*e^2x- e^2x*sinx) + c5*(cos*e^2x + 2sinx*e^2x)
y’(0)=c2+2c4=2

enz…

PS: Je zei dat ik 2maal c3 had gebruikt maar ik had bij het afleiden c3 voorop geplaatst en daarna dus beide termen binnen de haakje vermenigvuldigd met c3 ….

Ik hoop dat deze werkwijze toch een beetje juist is deze keer?

(2) Verdorie toch, dan moet ik oth nog ergens een foutje hebben gemaakt?
y(x)=c1 + c2*x + c3*x² + c4*e^x + c5*cos2x + c6*sin2x
y’(x)= c2 * 2*c3*x + c4*e^x – 2*c5*sin2x + 2*c6*cos2x
y’(0)= c2 + c4 + 2*c6 = -2 terwijl in het linkerlid alles constanten gelijk zijn aan nul wegens de voorwaarde ‘even functie’ ??

(3) Als er nu een term ‘sinx + e^-3x’ in het rechterlid staat
dan volgt hieruit :
y(x)p = asinx + bcosx (had je net hierboven geschreven) + c*e^-3x*x² is deze x² dan te wijten aanhet feit dat er reeds een x² in de oplossing staat ?

En heb je toevallig een tip voor y” + 6y’ + 9y= e^-3x ?

Ziezo, dat was het dan weer voor vandaag ;-)

Alvast opnieuw heel erg bedankt !

Anne
Student universiteit België - zondag 8 januari 2006

Antwoord

Beste Anne,

(1) Je had die c3 als twee keer gebruikt voor het afleiden, als coëfficiënt van x² en van e^(2x)cos(x) - maar dat maakt nu niet zoveel uit.
Zoals ik al dacht wil je je beginvoorwaarden onder de vorm y(0) = a, y'(0) = b etc. Wat ik bedoelde is dat je die veel gemakkelijker uit de opgegeven oplossing kan halen, dat is minder rekenwerk. Je weet immers al de oplossing van de DV, dus kan je daar ook de passende beginvoorwaarden uithalen.

y = x² + e^2xcos(x) Þ y(0) = 1
y' = 2x + e^2x(2cos(x)-sin(x)) Þ y'(0) = 2
y'' = 2 + e^2x(3cos(x)-4in(x)) Þ y''(0) = 5
y''' = ... Þ y'''(0) = ...
y'''' = ... Þ y''''(0) = ...

Zo ook voor die laatste twee, dan heb je de 5 beginvoorwaarden waaraan je uiteindelijke oplossing voldoet. Door deze op te leggen aan de gevonden algemene oplossing is de gewenste oplossing de enige mogelijkheid, zoals we willen.

(2) Je bedoelde dus de eerste afgeleide en niet de tweede, zoals in je vorige reactie. Ik weet niet precies hoe het in je opgave staat, maar als er letterlijk de voorwaarde c2 = c4 = c6 = 0 stond sámen met y'(0) = -2, dan klopt er inderdaad iets niet - die twee kunnen samen niet gelden.

(3) Waar komt die x² nu vandaan in jouw voorbeeld? Je rechterlid is een som van een sinus (daarvoor ken je het voorstel) en een e-macht, voor een e-macht is het opnieuw een e-macht met dezelfde exponent, daar hoeft geen x² maar bij... Je voorstel zou hier dus zijn: y_p = a.sin(x)+b.cos(x)+c.e^-3x.
Maar: je voorstel tot particuliere oplossing kan wel afhangen van je homogene oplossing (maar ik weet niet op basis van welke vgl je dit rechterlid hebt verzonnen). Als je voorstel al oplossing is van de homogene vergelijking, dan moet je nog vermenigvuldigen met x^k waarbij k de multipliciteit van die wortel is. Zie je volgend voorbeeld.

Normaalgezien stel je een e-macht met dezelfde exponent voor, uiteraard met een willekeurige constante; dus: y_p = c.e^-3x Maar als je de homogene oplossing al bepaald had zal je zien dat dit ook precies een oplossing van de homogene vergelijking is, -3 was een wortel met multipliciteit 2. Daarom moet je je voorstel nog vermenigvuldigen met x², dus y_p = c.x².e^-3x. Moest je dit niet doen dan zou alles gewoon wegvallen wanneer je het in je DV steekt, dan valt het wel op natuurlijk

mvg,
Tom

td
zondag 8 januari 2006

©2001-2024 WisFaq