Re: Homogene differentiaalvgl met reële constante coëff van de laagste orde
Dag Tom :-)
Vooreerst heel erg bedankt voor je antwoord! Dus bij (1) krijgen we als opl: y= C1 + c2x + c3x2 + c3*e^2x*cosx + c4*e^2x*sinx met c1=0 c2=0 c4=0
en dan deed ik dus: y'=c2 + 2*c3*x + 2*c3*cosx*e^2x - c3*sinx*e^2x + c4*e^2x*cosx + 2*c4*sinx*e^2x
maar dan heeft dit voor y(o)= c3 y'(0)=2c3
????
(2) hierbij bekom ik dan: y=c1 + c2*x + c3*x2 + c4*e^x + c5*cos2x + c6*sin2x even dus: c2 = c4 = c6 = 0 (ik snap dit nu eindelijk :))
maar dan kom ik iets tegenstrijdigs tegen nl dat y"(0)= c4 + 2c6 = -2 terwijl beide constanten nul zouden zijn?
(3) Nu we toch bezig zijn, nog even dit: Ik heb steeds moeite bij het bepalen van de particuliere oplossingen bv bepaal de unieke oplossing van y"" + 8y"+16y=x2 Ik weet perfect hoe ik dit kan oplossen als men mij de y(p) opgeeft maar hoe kan ik 'zien' dat voor x2 y(p)=ax2+bx+c ?
Zou je opnieuw willen verderhelpen? Alvast heel erg bedankt!
Mvg
Anne
Student universiteit België - zondag 8 januari 2006
Antwoord
Beste Anne,
(1) Even opletten met de nummering van de constanten, je hebt twee keer c3. Uiteraard moeten we tot aan c5 komen want het is een DV van 5e orde. Het lijkt mij handiger om beginvoorwaarden te halen uit de gegeven oplossing. We weten dat y = x2 + e2xcos(x) dus is y(0) = 1. Zo kan je ook gemakkelijk y'(0) bepalen en dit tot en met y''''(0), want met die 5 beginvoorwaarden heb je de oplossing van je DV uniek bepaald.
Merk op dat het helemaal niet nodig is om daarvoor ook je gevonden oplossing telkens af te leiden, in te vullen en zo voorwaarden op je 5 constanten te krijgen. Dat gaat lang duren en een stelsel geven voor je 5 onbekenden maar je wéét dat die 5 beginvoorwaarden die je uit je opgegeven oplossing hebt bepaald precies je DV uniek bepalen.
(2) Volgens mij is y''(0) = c4-4c5. Na twee keer afleiden zal (op het teken na) sin nog steeds sin zijn en cos ook. In x = 0 blijft de cosinus 1 maar de sinus 0, dus je houdt daar een aantal kaar c5 over, niet c4.
(3) In het algemeen geval (met een willekeurig rechterlid) is dit niet zo eenvoudig. In een aantal gevallen is er gelukkig een handige methode: als we sin & cos, e-machten of veeltermen (of een combinatie hiervan) in het rechterlid hebben. Je voorstel tot particuliere oplossing gaat dan altijd van dezelfde vorm als het rechterlid zijn, maar wel zo algemeen mogelijk.
Wat bedoel ik daarmee... In dit geval is je rechterlid x2 en dat is een rationale functie van de tweede graad. Je voorstel is dan ook een rationale functie van de tweede graad, maar in zijn algemene vorm: dus een algemene tweedegraads veelterm, ax2+bx+c. Stel dat er in het rechterlid sin(2x) stond, dan is je voorstel tot particuliere oplossing ook een goniometrische functie in 2x, maar wel algemeen, dus een lineaire combinatie van sinus en cosinus: a*sin(2x)+b*cos(2x). Analoog voor e-machten en voor combinaties van deze drie gevallen.
Dit is een reactie op vraag 42725 
