Algebra

Analyse

Bewijzen

De grafische rekenmachine

Discrete wiskunde

Fundamenten

Meetkunde

Oppervlakte en inhoud

Rekenen

Schoolwiskunde

Statistiek en kansrekenen

Telproblemen

Toegepaste wiskunde

Van alles en nog wat


\require{AMSmath}

Verwachtingswaarde functie

Hallo,

Ik zoek de verwachtingswaarde van de functie E(f(Z)), waarbij Z een stochast met een normale (m,s^2)-verdeling.
Stel dat f(Z) = (a * e^Z - b), dan geldt volgens mij
E(f(Z)) = a * e^(m+ 1/2s^2) - b.
Dat kan ik nog volgen.

Maar nu f(Z)= (a * e^Z - b)^+. (Hier wordt mee bedoelt dat elke functiewaarde onder nul in nul zelf verandert)
Het antwoord is nu:
E(f(Z)) = a * e^(m+ 1/2s^2)* Phi( {log(a/b)+m+s^2} / s) - b * Phi( {log(a/b)+m} / s).
Ik snap totaal niet hoe men aan dit antwoord antwoord komt. Ik weet wel dat ik iets moet doen met de dichtheid van Z (zeg g(Z) ). E(f(Z)) = ò$ f(Z) g(Z) dZ, maar ik kom er gewoon niet uit.

Tot nu toe hebben jullie me al een boel geholpen, ik hoop dat dat weer lukt.
Bij voorbaat dank
Daan

Daan
Student universiteit - dinsdag 22 februari 2005

Antwoord

Daan,
exp(x)=e^x: aexp(x)-b0 voor xln(b/a) met b/a0.
E(exp(x))=1/(sÖ2p)òexp(x-(x-m)2/2s2dx. De integraal loopt van ln(b/a) naar ¥. Stel (x-m)/s-s=t.Dan is
-1/2t2=x-m-1/2s2-(x-m)2/2s2 en dx=sdt.De integraal wordt nu
1/Ö2pexp(m+1/2s2)òexp(-1/2t2)dt, wwarbij de integraal loopt van (ln(b/a)-m-s2)/s
naar ¥. Wegens de symmetrie kunnen we de grenzen ook nemen van -¥naar -(ln(b/a)-m-s2)/s=
(ln(a/b)+m+s2)/s.En dit geeft de functiej.De tweede integraal is eenvoudiger maar gaat analoog.
Zo duidelijk, hoop ik.

kn
dinsdag 22 februari 2005

 Re: Verwachtingswaarde functie 

©2001-2024 WisFaq