Ik zie dat naast 1 in de genoemde ringen -1 ook altijd een eenheid maar ik weet niet hoe je dit voor een algemeen ring R bewijzen moet.
Begrijp ik het goed dat nu uit het feit dat -1 altijd een eenheid is volgt dat in dit geval 1=-1 omdat R'={1}?
Graaf wil ik nog een algemen vraag stellen.Stel R is niet de nulring en vermenigvuldiging is een groepsoperatie, geldt dan R=0?
Groeten, Viky
viky
Student hbo - dinsdag 21 september 2004
Antwoord
Hallo Viky,
-1 is een eenheid omdat (-1)(-1)=1. Kijk, je weet dat 1 een eenheid is. Maar R is een ring, dus de optelling is een groep, dus voor elk element x van R bestaat er een -x. Dus -1 moet wel degelijk bestaan, met de eigenschap dat (-1)+1=0 en 1+(-1)=0.
Volg nu even volgende reeks van gelijkheden. En denk telkens na of je de stap wel mag zetten, je bent immers aan het werken in een algemene ring dus moet je toch wat oppassen dat je niet al te vlot de gekende rekenregels in of toepast.
0=02=((-1)+1)2=(-1)2+(-1)+(-1)+1=(-1)2+(-1)+0=(-1)2+(-1) Waaruit volgt dat zowel (-1)2+(-1) als 1+(-1) nul zijn, dus dat (-1)2=1. (want elk element heeft juist één invers onder de optelling, dat is een eigenschap)
'Begrijp ik het...?' Ja: -1 is een eenheid, maar 1 is de enige eenheid. Dus -1=1.
De laatste vraag begrijp ik niet: R is niet de nulring, te bewijzen R=0? De vermenigvuldiging is een groepsoperatie zeg je, dat betekent dat elk element (behalve het eenheidselement nul voor de optelling) een multiplicatief invers heeft (groepseigenschap). Dus nul is de enige niet-eenheid. Misschien bedoelde je dat, dus dat R\R'={0}. (en dan is dat bij deze meteen bewezen ) waarbij R'=de eenhedengroep.
Dit is een reactie op vraag 27564 
of 
toepast.
) waarbij R'=de eenhedengroep.