\require{AMSmath}

Een moeilijke rationale integraal

ò(x³+1)/x(x-1)³dx deze integraal moet -x/(x-1)²+ln(x-1)²/|x|+c uitkomen

hoe begin ik hier best aan want ik kan er echt niks van

dank bij voorbaat

dries
Student Hoger Onderwijs België - vrijdag 9 januari 2004

Antwoord

Hoe je hieraan moet beginnnen is door de standaard breuksplitsingsvormen eens te bekijken:
(x³+1)/x(x-1)³ is om te schrijven in de vorm (breuksplitsingsvorm)
p1/(x-1) + p2/(x-1)² + p3/(x-1)³ + q/x. Nu onder noemer x·(x-1)³ brengen:
Dit levert als teller p1·(x-1)²·x + p2·(x-1)·x + p3·x + q·(x-1)³
En dat moet vervolgens gelijk worden aan x³+1
Uitschrijven en enig rekenwerk leidt tot p1=2, p2=1, p3=2, q=-1
Hiermee is je breuksplitsing klaar:
(x³+1)/x(x-1)³ = 2/(x-1) + 1/(x-1)² + 2/(x-1)³ + -1/x
Integreren levert op 2ln|x-1| - 1/(x-1) - 1/(x-1)² - ln|x| + c
Dat dit uiteindelijk hetzelfde is als jouw oplossing is nu niet zo moeilijk meer in te zien.

Met vriendelijke groet

JaDeX

jadex
vrijdag 9 januari 2004

©2001-2024 WisFaq