WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

2 bewijzen

Hai Wisfaq

Hoe bewijs ik dat:

de som $\sum$van n=1 tot $\infty$ (1/(2n-1)²) convergeert?

de som $\sum$van n=1 tot $\infty$ (1/(2n-1)) divergeert?

Ik begrijp dat een reeks convergeert naar S als de rij van partiele sommen limiet S heeft. Maar hoe moet je dat dan bewijzen? Kan ik ook alleen bewijzen dat-ie convergeert?

Groetjes
E
Student hbo - zondag 24 oktober 2004

Antwoord

Voor de eerste som zou ik opmerken:

voor elke n geldt dat 1/(2n-1)² $\leq$ 1/n², dus is ook de som $\sum$ van n=1 tot $\infty$ (1/(2n-1)²) $\leq$ $\sum$ van n=1 tot $\infty$ (1/n²). En we weten dat die som convergeert, zie:

Reeks van Euler

Voor de tweede som, merk op dat $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)) $>$ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n)) = ¹/₂ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n)

Je kunt nu volstaan met het laten zien dat $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n) divergeert, en dat is niet zo moeilijk.

Leuker is het volgende:

We weten ook dat $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n) = $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1) · (1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ...) ) [want elke noemer is een oneven getal maal een macht van 2]= $\sum$van 1 to $\infty$ (2/(2n-1)) = 2$\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)).

Oftewel $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)) $>$ ¹/₂ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n), maar ook $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)) = ¹/₂ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n).

Gelijktijdig $>$ en = kan alleen bij divergentie. Netter gezegd: Stel dat de reeks $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)) convergeert, dan convergeert hij een waarde A (¹/₂ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n)) maar tegelijk ook naar een waarde kleiner dan A. En we hebben een tegenspraak, dus er is divergentie.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 24 oktober 2004

Re: 2 bewijzen