2 bewijzen

Hai Wisfaq

Hoe bewijs ik dat:

de som $\sum$van n=1 tot $\infty$ (1/(2n-1)²) convergeert?

de som $\sum$van n=1 tot $\infty$ (1/(2n-1)) divergeert?

Ik begrijp dat een reeks convergeert naar S als de rij van partiele sommen limiet S heeft. Maar hoe moet je dat dan bewijzen? Kan ik ook alleen bewijzen dat-ie convergeert?

Groetjes

E
Student hbo - zondag 24 oktober 2004

Antwoord

Voor de eerste som zou ik opmerken:

voor elke n geldt dat 1/(2n-1)² $\leq$ 1/n², dus is ook de som $\sum$ van n=1 tot $\infty$ (1/(2n-1)²) $\leq$ $\sum$ van n=1 tot $\infty$ (1/n²). En we weten dat die som convergeert, zie:

Reeks van Euler

Voor de tweede som, merk op dat $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)) $>$ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n)) = ¹/₂ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n)

Je kunt nu volstaan met het laten zien dat $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n) divergeert, en dat is niet zo moeilijk.

Leuker is het volgende:

We weten ook dat $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n) = $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1) · (1 + ¹/₂ + ¹/₄ + ¹/₈ + ...) ) [want elke noemer is een oneven getal maal een macht van 2]= $\sum$van 1 to $\infty$ (2/(2n-1)) = 2$\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)).

Oftewel $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)) $>$ ¹/₂ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n), maar ook $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)) = ¹/₂ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n).

Gelijktijdig $>$ en = kan alleen bij divergentie. Netter gezegd: Stel dat de reeks $\sum$van 1 to $\infty$ (1/(2n-1)) convergeert, dan convergeert hij een waarde A (¹/₂ $\sum$van 1 to $\infty$ (1/n)) maar tegelijk ook naar een waarde kleiner dan A. En we hebben een tegenspraak, dus er is divergentie.

zondag 24 oktober 2004

Re: 2 bewijzen

©2001-2024 WisFaq