Gegeven: $ ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0 $
Voor de hand liggende oplossingen zijn er drie gevallen te onderscheiden:
-
Als $a+b+c+d+e=0$
Je weet dan dat $x=1$ een oplossing is.
-
Als $a+c+e=b+d$
Je weet dan dat $x=-1$ een oplossing is.
-
Als $b=k·a$, $c=0$ en $e=k·d$
Je weet dan dat $x=-k$ een oplossing is.
Voorbeeld 1
Los op: $
x^4 - 6x^3 - 4x^2 + 54x - 45 = 0
$
Er geldt: $1+-6+-4+54+-45=0$, dus je weet dat $x=1$ een oplossing is dus je kunt ontbinden met $x-1$. Dat geeft de volgende uitwerking:
Uitwerking
$
\eqalign{
& x^4 - 6x^3 - 4x^2 + 54x - 45 = 0 \cr
& \left( {x - 1} \right)\left( {x^3 - 5x^2 - 9x + 45} \right) = 0 \cr
& x = 1 \vee x^3 - 5x^2 - 9x + 45 = 0 \cr
& noot: \cr
& x^3 - 5x^2 - 9x + 45 = 0 \cr
& p = - \frac{{52}}
{3} \cr
& q = \frac{{560}}
{{27}} \cr
& W = \frac{{32i\sqrt 3 }}
{3} \cr
& x = 5 \cr
& dus: \cr
& x = 1 \vee \left( {x - 5} \right)\left( {x^2 - 9} \right) = 0 \cr
& x = 1 \vee x = 5 \vee x = - 3 \vee x = 3 \cr}
$
Voorbeeld 2
Los op: $
x^4 - 4x^3 - 14x^2 + 36x + 45 = 0
$
Er geldt: $1-14+45=-4+36$, dus je weet dan $x=-1$ een oplossing is. Je kunt ontbinden met $x+1)$. Dit geeft de volgende uitwerking:
Uitwerking
$
\eqalign{
& x^4 - 4x^3 - 14x^2 + 36x + 45 = 0 \cr
& \left( {x + 1} \right)\left( {x^3 - 5x^2 - 9x + 45} \right) = 0 \cr
& \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right)\left( {x - 9} \right)^2 = 0 \cr
& x = - 1 \vee x = 5 \vee x = - 3 \vee x = 3 \cr}
$
Voorbeeld 3
Los op: $
x^4 + 2x^3 + 3x + 6 = 0
$
Uitwerking
In 't algemeen:
$
\eqalign{
& ax^4 + akx^3 + dx + dk = \cr
& ax^3 (x + k) + d(x + k) = \cr
& \left( {ax^3 + d} \right)(x + k) \cr}
$
In dit geval:
$
\eqalign{
& x^4 + 2x^3 + 3x + 6 = 0 \cr
& a = 1 \cr
& b = 2 \cr
& c = 0 \cr
& d = 3 \cr
& e = 6 \cr
& k = 2 \cr
& x^4 + 2x^3 + 3x + 6 = 0 \cr
& \left( {x^3 + 3} \right)(x + 2) = 0 \cr
& x = \root 3 \of 3 \vee x = - 2 \cr}
$
Opgelost...
