De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

home |  vandaag |  gisteren |  bijzonder |  gastenboek |  wie is wie? |  verhalen |  contact

HOME

samengevat
vragen bekijken
een vraag stellen
hulpjes
zoeken
FAQ
links
twitter
boeken
help

inloggen

colofon

  \require{AMSmath}

5. De formule van Cardano

De vergelijking $
ax^3  + bx^2  + cx + d = 0
$ heeft als een oplossing:

$
\eqalign{
  & p = \frac{c}
{a} - \frac{{b^2 }}
{{3a^2 }}  \cr
  & q = \frac{{2b^3 }}
{{27a^3 }} - \frac{{bc}}
{{3a^2 }} + \frac{d}
{a}  \cr
  & W = \sqrt {q^2  + \frac{4}
{{27}}p^3 }   \cr
  & x = \root 3 \of {\frac{{ - q + W}}
{2}}  + \root 3 \of {\frac{{ - q - W}}
{2}}  - \frac{b}
{{3a}} \cr}
$

Voorbeeld

Je wilt de vergelijking $
x^3  - 6x^2  + 11x - 6 = 0
$ oplossen. Met de formule van Cardano krijg je:

$ \eqalign{ & x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0 \cr & a = 1 \cr & b = - 6 \cr & c = 11 \cr & d = - 6 \cr & p = \frac{{11}} {1} - \frac{{\left( { - 6} \right)^2 }} {{3 \cdot 1^2 }} = - 1 \cr & q = \frac{{2 \cdot \left( { - 6} \right)^3 }} {{27 \cdot 1^3 }} - \frac{{ - 6 \cdot 11}} {{3 \cdot 1^2 }} + \frac{{ - 6}} {1} = 0 \cr & W = \sqrt {0^2 + \frac{4} {{27}} \cdot \left( { - 1} \right)^3 } = \frac{2} {9}i\sqrt 3 \cr & x = \root 3 \of {\frac{{ - 0 + \frac{2} {9}i\sqrt 3 }} {2}} + \root 3 \of {\frac{{ - 0 - \frac{2} {9}i\sqrt 3 }} {2}} - \frac{{ - 6}} {{3 \cdot 1}} = 3 \cr} $

Je hebt dan 1 oplossing te pakken. Met ontbinden kan je dan de (zo mogelijk) andere oplossingen vinden.

Opgelost....


home |  vandaag |  bijzonder |  gastenboek |  statistieken |  wie is wie? |  verhalen |  colofon

©2001-2022 WisFaq - versie 3