De normale verdeling is een continue kansverdeling. Kansverdelingen waarbij een continue variabele een rol speelt komen veel voor. Als je bijvoorbeeld kijkt naar het gewicht van een pak koffie van een bepaald merk, of naar de gemiddelde opbrengst van een hectare grond of naar de lengte van een groot aantal personen dan heb je steeds te maken met een continue kansverdeling.
Bij veel discrete kansverdelingen wordt vaak gedaan alsof ze continu zijn, vooral bij grote aantallen.
Een paar eigenschappen van een normale verdeling:
klokvormig
de oppervlakte onder de kromme komt overeen met 100% van de gegevens
symmetrisch t.o.v. het gemiddelde.
gemiddelde, mediaan en modus vallen samen
de verdeling wordt bepaald door de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie
vuistregels:
68% van de gegevens wijkt op z'n hoogst één keer de standaarddeviatie af van de verwachtingswaarde
95% van wijkt op z'n hoogst twee keer de standaarddeviatie af van de verwachtingswaarde
Voor een normale dichtheidskromme is het mogelijk de standaarddeviatie op het oog te schatten. De afstand van het buigpunt tot het centrum (gemiddelde en mediaan) is namelijk de standaarddeviatie.
Hierboven zie je de standaardnormale verdeling.
Hierbij is de verwachtingswaarde $\mu$ gelijk aan 0 en de standaarddeviatie ($\sigma$) gelijk aan 1. Met de standaardnormale verdeling en een tabel kun je allerlei uitspraken doen over alle normale verdelingen.
Standaardnormale verdeling
Om bij een willekeurige normale verdeling uitspraken te kunnen doen gebruik je meestal een tabel van de standaardnormale verdeling. Dat is een normale verdeling met een gemiddelde van 0 en een standaarddeviatie van 1. In de zo'n tabel kun je voor een willekeurige z-waarde (de horizontale as in bovenstaande grafiek) de bijbehorende waarde voor $\phi$ (fie!) vinden.
$\phi$(z) is de oppervlakte onder de kromme die hoort bij de waarde van z.
Hier is z = 1,25 en $\phi$(1,25) = 0,8944
Dat betekent dat 89,4% van de gegevens een z-waarde heeft lager dan 1,25.
Om van een normale verdeling een standaardnormale verdeling te maken kun je een waarde (x) omrekenen naar een standaardnormale waarde (z).
Hierbij gebruik je de formule:
$z=\Large\frac{x-\mu}{\sigma}$
Hierbij is $\mu$ de verwachtingswaarde en is $\sigma$ de standaarddeviatie.
Voorbeeld 1
Van een grote groep leerlingen berekenen we het gemiddelde rapportcijfer voor wiskunde. De rapportcijfers hebben een gemiddelde van 5,6 en een standaarddeviatie van 1,5. We nemen aan dat de rapportcijfers normaal verdeeld zijn.
Hoeveel procent van de leerlingen heeft lager dan een 3?
Bereken hoeveel procent van de leerlingen een 'echte' voldoende heeft (6 of meer).
De leraar besluit om alle rapportcijfers te vermenigvuldigen met 1,1. Bereken hoeveel procent van de leerlingen nu een voldoende heeft.
Uitwerking
z = (3-5,6):1,5 = -1,73
$\phi$(-1,73) = 0,0418
Conclusie: 4,2% van de leerlingen heeft een 3 of minder.
z = (6-5,6):1,5 = 0,27
$\phi$(0,27) = 0,6064
Conclusie: 39,4% van de leerlingen heeft een 6 of meer.
z = (6-6,16):1,65 = -0,10
$\phi$(-0,10) = 0,4602
Conclusie: 54,0% van de leerlingen heeft nu een 6 of meer.
Voorbeeld 2
P( x < 5,4 | $\mu$ =3, $\sigma$ = 1,7) = a. Bereken a. (2 dec.)
P( x < b | $\mu$ = 12, $\sigma$ = 0,3) = 0,31. Bereken b. (2 dec.)
P( x < 37 | $\mu$ = c, $\sigma$ = 6,2) = 0,70. Bereken c. (1 dec.)
Uitwerking
z = (5,4 - 3) / 1,7 = 1,41
$\phi$(1,41) = 0,9207
a = 0,92
$\phi$(z) = 0,31 dus z = -0,5
b = 12 + -0,5 · 0,3 = 11,85
$\phi$(z) = 0,70 dus z = 0,52
c = 37 - 0,52 · 6,2 = 33,78
Voorbeeld 3
Op pakjes margarine staat meestal 250gr e. Dit betekent dat volgens Europese norm niet meer dan 5% van die pakjes minder dan 250 gram mag bevatten.
De gewichten van pakjes Bona zijn normaal verdeeld en hebben een standaarddeviatie van 7 gram. Bereken het gemiddelde gewicht zodat precies voldaan wordt aan de Europese norm.
De pakjes margarine van de firma Fide hebben een gemiddeld gewicht van 256 gram. Ook de gewichten van deze pakjes zijn normaal verdeeld en voldoen precies aan de Europese norm. Bereken de standaarddeviatie.
Uitwerking
$\phi$(z) = 0,05 dus z = -1,645, x = 250 en $\sigma$ = 7. $\mu$ = 250 - -1,645 · 7 = 261,5 gram.
$\mu$ = 256, x = 250, $\phi$(z) = 0,05 dus z = -1,645.
$\phi$=$\large\frac{250-256}{-1,645}$ $\approx3,65$
Lesbrieven
Op deze pagina kan je een aantal lesbrieven vinden:
