\require{AMSmath}

Voorbeeld 4

---

Vraag

---

Gevraagd: $
\int {ue^u du}
$

---

Uitwerking

---

We gaan partieel integreren.

Stelling
Als f en g differentieerbaar zijn dan is:

$
\int {f(x)g'(x)\,dx = f(x) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)\,dx} }
$

Wat moet je nu voor $f$ en $g$ kiezen?

Neem:

$
\eqalign{
  & Kies\,\,\,f(x) = u\,\,\,en\,\,g'(x) = e^u   \cr
  & Zodat\,\,\,f'(x) = 1\,\,\,en\,\,\,g(x) = e^u  \cr}
$

Je krijgt dan:

$
\eqalign{
  & \int {ue^u du}  = f(x) \cdot g(x) - \int {g(x) \cdot f'(x)}   \cr
  & \int {ue^u du}  = ue^u  - \int {e^u  \cdot 1du}   \cr
  & \int {ue^u du}  = ue^u  - e^u  + C  \cr
  & \int {ue^u du}  = e^u \left( {u - 1} \right) + C \cr}
$

©2004-2024 WisFaq