|
|
|
\require{AMSmath}
Zoeken in de vragen van 2024
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
2016
2017
2018
2019
2020
2021
2022
2023
2024
Cursist vavo
| 98268. |
Kwadraatresten |
|
|
Algebra - Cursist vavo |
|
ik reageer op vraag 20891.
p is oneven. hoe bewijs ik (2/p) = 1 als p mod 8 = +-1 en (2/p)=-1 als p mod 8 = +-3.
1) mbv lemma van gauss.
Ik weet dat 8 een deler is van p^2-1.
Maar dan?
2) mbv begrippen als priempolynoom, voortbrenger , ordes,
cyclische groepen, binomium van newton
Ik weet dat volgens Euler geldt: (2/p) = 2^[(p-1)/2].
Maar dan?
|
Docent
| 98347. |
JWO 2007 2e Ronde - Vraag 27 |
|
|
Getallen - Docent |
|
Beste,
Ik probeer al even onderstaande vraag opgelost te krijgen.
Welk cijfer stelt • voor als 200710 = 10•0409780885367740279751534615249?
(Bron: Vlaamse junior wiskunde olympiade 2e Ronde 2006-2007, vraag 27.)
Ik heb van alles geprobeerd en onderzocht, maar vind helaas geen goede manier om deze opgelost te krijgen. Heeft iemand tips voor mij?
De laatste cijfers van het getal kon ik wel verklaren via de 10e macht van 7.
2^10 * 10^30 zou een indicatie kunnen geven voor de eerste cijfers. Maar 2^10 is 1024, en geeft niet het juiste antwoord. Het juiste antwoord zou volgens de oplossingensleutel het cijfer '6' zijn. Maar helaas begrijp ik niet waarom? Schrijven als een som of een verschil van twee getallen, hielp me ook niet echt vooruit. Ik blijf op zoek, maar ben een beetje door mijn inspiratie heen.
Als je algemene tips zou hebben voor zulke vragen over grote getallen, dan zijn die steeds ook welkom voor de toekomst.
Dank bij voorbaat,
Wouter
|
| 98348. |
Re: JWO 2007 2e Ronde - Vraag 27 |
|
|
Getallen - Docent |
|
Beste,
Dankjewel voor de moeite en je antwoord.
Uiteraard ontbrak er een symbooltje '^' voor de macht in de opgave. Correcte weergave van de vraag:
Welk cijfer stelt • voor als 2007^10 = 10•0409780885367740279751534615249?
Ondertussen was ik ook een andere manier te weten gekomen en deel ik die graag. 2007 bestaat uit de priemgetallen 32.223. Dus het uiteindelijke resultaat zou ook opnieuw deelbaar moeten zijn door 9.
Om deelbaar te zijn door 9 moet de som van alle cijfers ook deelbaar zijn door 9. Als je alle bekende cijfers optelt, bekom je als som 156. En met 6 erbij te tellen wordt het een veelvoud van 9, waardoor je de juiste oplossing vindt.
Anderzijds is uw methode via binomium van Newton, volgens mij, algemener toepasbaar. Dus in feite beter voor elk soort vraag of getal men opgeeft in de opgave.
Dank,
Wouter
|
|
