|
|
|
\require{AMSmath}
Kwadraatresten
ik reageer op vraag 20891.
p is oneven. hoe bewijs ik (2/p) = 1 als p mod 8 = +-1 en (2/p)=-1 als p mod 8 = +-3.
1) mbv lemma van gauss.
Ik weet dat 8 een deler is van p^2-1.
Maar dan?
2) mbv begrippen als priempolynoom, voortbrenger , ordes,
cyclische groepen, binomium van newton
Ik weet dat volgens Euler geldt: (2/p) = 2^[(p-1)/2].
Maar dan?
jan
Cursist vavo - donderdag 25 juli 2024
Antwoord
1. Met behulp van het Lemma van Gauss ben je er snel uit: schrijf de getallen 2, 4, \ldots, 2k, \ldots, 2\cdot\frac{p-1}2 op (alle veelvouden van 2, tot en met het (p-1)/2-de dus).
Tel dan hoeveel daar van groter dan (p-1)/2 zijn, noem dat getal m. Dan geldt \left(\frac2p\right)=(-1)^m.
Als p respectievelijk van de vorm 8n-3, 8n-1, 8n+1, en 8n+3 is krijgt je respectievelijk m=2n-1, m=2n, m=2n, en m=2n+1.
2. Hier weet ik niet zeker wat de bedoeling is, maar 2^{\frac{p-1}2} is wegens de kleine Stelling van Fermat inderdaad gelijk aan -1 of 1 modulo p. Je moet dan kennelijk met behulp van de genoemde dingen laten zien dat de macht voor p\equiv\pm1\pmod 8 gelijk is aan 1, en aan -1 anders.
Merk op: als 2^{\frac{p-1}2}\equiv1 \pmod p dan is 2 geen voortbrenger van de vermenigvuldigingsgroep \{1,2,\ldots,p-1\} modulo p en als 2^{\frac{p-1}2}\equiv-1 \pmod p dan is 2 dat wel.
Kijk onder de genoemde begrippen stellingen of er iets staat dat aangeeft wanneer 2 een voortbrenger van die groep is.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 26 juli 2024
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2025 WisFaq - versie 3
|
