|
|
|
\require{AMSmath}
Telproblemen
Stoelen
"Rond een cirkelvormige tafel staan precies 60 stoelen. Aan deze tafel zijn N personen aangezeten op zo'n wijze dat de volgende persoon die gaat zitten, zeker naast iemand moet aanzitten. Geef de kleinst mogelijke waarde van N.”
Bij dit vraagstuk kwam ik al snel tot het antwoord, nl. N=20, maar de vraag is nu:"Wat wordt het antwoord indien we vertrekken met 59 stoelen? En indien we s stoelen hebben?"
Stef
6-2-2025
Antwoord
Bij $59$ stoelen heb je ook $20$ personen nodig: de $N$ personen verdelen de rest van de stoelen in $N$ groepjes. Elk van die groepjes mag uit ten hoogste $2$ stoelen bestaan, want bij drie lege stoelen naast elkaar kan de nieuwe persoon op de middelste van die drie gaat zitten.
Conclusie: $59-N$ moet kleiner dan of gelijk zijn aan $2N$, ofwel $59\le 3N$.
Dan is $20$ groot genoeg, maar $19$ is te klein.
Algemeen: bij $s$ stoelen moet $3N\ge s$ gelden, dus het antwoord is: het kleinste getal waarvan het drievoud groter dan of gelijk is aan $s$.
kphart
7-2-2025
Re: Stoelen
Hoe kom je precies tot de conclusie gelijk aan of kleiner dan?
Stef
8-2-2025
Antwoord
Het ladenprincipe: er zijn $N$ groepen van stoelen, daar moeten we die $59-N$ over verdelen; als $59-N$ groter dan $2N$ is moet tenminste één van die groepen uit drie of meer stoelen bestaan.
kphart
8-2-2025
Treden
Het gaat over trap die zes treden telt, T1 tot en met T6.
Er zijn twee mogelijkheden: overslaan of niet.
Dus voor zes treden zijn dan 64 manieren: 2^6 klopt dat?
Omdat het niet verstandig om deze trap in één keer naar beneden te springen, is het beter om dit in meerdere stappen te doen. Er zijn hier twee vragen die ik niet snap:
1. bereken op hoeveel manieren zij van boven naar beneden kan komen indien ze dit in precies vier stappen wil gaan doen.
2 Bereken op hoeveel manieren iemand naar beneden kan komen als hij maximaal één trede per stap mag overslaan.
Ik snap niet hoe ik kan beantwoorden. Graag jullie hulp daarvan om goed te begrijpen. Alvast bedankt.
Met vriendelijke groet,
Imre
Imre K
5-3-2025
Antwoord
Hallo Imre,
Om misverstand te voorkomen: ik ga uit van een trap zoals hieronder afgebeeld. Je zou kunnen discussiëren of de treden van een trap alleen de niveau's zijn tussen de onderste vloer en de bovenste vloer (dan zou T1 geen trede zijn), of dat we elke stap ook een trede noemen. Ik ga uit van het laatste.
Je geeft aan dat 'voor 6 treden 2 6=64 mogelijkheden'zijn. Maar mogelijkheden voor wat? Er zijn inderdaad 64 mogelijkheden om te kiezen welke treden je wel of niet neemt. Als dat is wat je bedoelt, dan heb je gelijk. Maar als je het aantal mogelijkheden bedoelt waarop je van boven naar beneden kunt komen, dan is dit minder. Zo is één van die 64 mogelijkheden om geen enkele trede te nemen. Dan kom je niet beneden. Ook als je bijvoorbeeld de eerste twee treden wel neemt, en de volgende vier niet, dan blijf je halfverwege de trap steken. Kan je zelf berekenen hoeveel mogelijkheden er zijn om beneden te komen?
Hint: welke trede mag je niet overslaan (beter gezegd: moet je altijd wel nemen) om beneden te komen?
Dan vraag 1: Hoeveel mogelijkheden zijn er om in precies 4 stappen van boven naar beneden te komen? Bedenk dan eerst eens met welke 'stapgroottes' je dit voor elkaar kan krijgen. Dat zijn:
- 3 keer één trede en 1 keer één trede: 3 1 1 1
of
- 2 keer twee tredes en twee keer één trede: 2 2 1 1
Maar beide kunnen in meedere volgordes. Voor het eerste geval zijn er vier volgordes (3 1 1 1, 1 3 1 1, 1 1 3 1 en 1 1 1 3), dit levert dus 4 mogelijkheden op.
Bereken zelf hoeveel volgordes er zijn om een rijtje van twee keer een 1 en twee keer een 2 te maken, dit levert het aantal mogelijkheden voor het tweede geval.
Tot slot vraag 2: het aantal manieren om beneden te komen als je per stap maximaal één trede mag overslaan. De aanpak is hetzelfde: bekijk met welk rijtje 'stapgroottes' je dit kunt doen, en bepaal voor elk rijtje hoeveel volgordes mogelijk zijn. Ik maak een start voor je:
- 1 1 1 1 1 1: één mogelijke volgorde, dus één mogelijkheid;
- 2 1 1 1 1: vijf mogelijke volgordes, dus vijf mogelijkheden;
- 2 2 1 1: zes mogelijkheden;
- ...
Lukt het hiermee?
GHvD
6-3-2025
Re: Treden
Beste Gilbert,
Hartelijk voor uw uitleg.
Kan ik dan zo met de combinaties formuleren:
1. 4 nCr 1 = 4
4 nCr 2 = 6
Dus 4 + 6 = 10 mogelijkheden
2. Bij deze vraag weet ik niet hoe ik met combinaties kan formuleren. Graag uw hulp daarvan.
Uw manier:
als ik begrijp moet ik zo het systeem volgen:
111111 1 mogelijkheid
21111 5 mogelijkheden
2211 6 mogelijkheden
222 1 mogelijkheid
3111 4 mogelijkheden
321 6 mogelijkheden
33 1 mogelijkheid
en de totaal is 1+5+6+1+4+6+1 = 24 mogelijkheden.
Heb ik het goed gedaan?
Met vriendelijke groet,
Imre
Imre K
6-3-2025
Antwoord
Hallo Imre,
Je aanpak met combinaties is prima!
Je antwoord bij vraag 2 klopt niet helemaal. Je kunt dit als volgt met combinaties aanpakken:
- 111111: je moet zes cijfers 1 verdelen over zes plaatsen, dat geeft
6 nCr 6 = 1 mogelijkheid.
- 21111: je moet vier cijfers 1 verdelen over vijf plaatsen, dat geeft
5 nCr 4 = 5 mogelijkheden (of: één cijfer 2 verdelen over vijf plaatsen, dat geeft 5 nCr 1 = 5 mogelijkheden)
- 2211: je moet twee cijfers 1 verdelen over vier plaatsen, dat geeft
4 nCr 2 = 6 mogelijkheden (je mag natuurlijk ook de cijfers 2 verdelen over vier plaatsen)
Maar de serie 2221 is onjuist: dit zou betekenen dat je 3 keer twee treden tegelijk neemt, plus nog een keer een enkele trede. Dat zijn in totaal 7 treden, terwijl de trap maar 6 treden heeft. Dit zijn dus geen juiste mogelijkheden.
Ook de series met het cijfer 3 zijn niet toegestaan, want dan neem je 3 treden tegelijk, terwijl je volgens de vraag hooguit 2 treden tegelijk mag nemen.
Kom je er nu helemaal uit?
GHvD
7-3-2025
Vraag uit wiskundeleraar
Waarom moet je bij de 4e opdracht gedeeld door 6 doen?
Tamar
7-3-2025
Antwoord
Je kunt de drie gekozen personen onderling nog verwisselen. Dat kan op 3x2x1=6 manieren.
Toch?🤔
WvR
7-3-2025
Re: Re: Treden
Beste Gilbert,
Ten eerste bedankt voor uw uitleg. In het begin waren voor mij de vragen lastig, maar na uw uitleg begrijp ik dit opdracht helemaal. Alleen '1 punt bij de laatste vraag is voor mij nog niet duidelijk: Hoort 222 bij of niet? want ik kan hoogstens twee treden overslaan.
111111 ( die snap ik)
21111 ( die snap ik ook)
2211 ( die snap ik ook)
222 ??? ( nog niet duidelijk)
Dus totaal si: 1 + 5 + 6 + 1 (?) = 13 is deze goed?
Alvast bedankt!
Met vriendelijke groet,
Imre
Imre K
9-3-2025
Antwoord
Hallo Imre,
Lees de vraag nog eens goed: hij mag maximaal één trede per stap overslaan. Per stap mag hij dus twee treden tegelijk nemen, maar hierna mag hij best opnieuw twee treden tegelijk nemen, en daarna nog eens. Zolang het maar niet drie treden tegelijk zijn .....
Kortom: 222 mag ook, en dit kan inderdaad maar op 1 manier. Zo kom ik, net als jij, op 13 mogelijkheden in totaal.
OK zo?
GHvD
9-3-2025
Re: Re: Re: Treden
Beste meneer Gilbert,
Hartelijk Dank! Nu snap ik het wel.
Met vriendelijke groet,
Imre
Imre K
10-3-2025
Voortbrengende functies
Je moet 295 cent betalen. Je mag gebruik maken van zoveel mogelijk 1,2,5,10,20,50,100 en 200 centen. Op hoeveel verschillende manieren kun je 295 cent betalen? Hoe reken je dat uit?
FdK
28-3-2025
Antwoord
Dit is een bekend probleem, zie bijvoorbeeld de allereerste twee opgaven in het boek Aufgaben und Lehrsätze aus der Analysis van Polya en Szegö, met oplossing op pagina 152 (een eenvoudige versie met $1$- en $2$-Euromunten staat in Pythagoras).
Voor $k=1$, $2$, $5$, $10$, $20$, $50$, $100$, en $200$ neem je de meetkundige reeks $\sum_{n=0}^\infty x^{kn}$, en dan van die acht reeksen het product
$$\sum_{n=0}^\infty x^{n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{2n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{5n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{10n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{20n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{50n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{100n} \cdot \sum_{n=0}^\infty x^{200n}
$$Je moet dan de coëfficiënt van $x^{295}$ hebben (ik zou een computer-algebraprogramma gebruiken, of wolfram alpha). Als ik Maple mag geloven is het antwoord gelijk aan $434696$. Dit zijn de commando's die ik gebruikt heb.
g:=sum(x^k,k=0..295)*sum(x^(2*k),k=0..147)*sum(x^(5*k),k=0..59)*
sum(x^(10*k),k=0..29)*sum(x^(20*k),k=0..14)*sum(x^(50*k),k=0..5)*
(1+x^100+x^200)*(1+x^200);
expand(g);
Dat product, de genererende functie, is ook gelijk aan
$$\frac1{(1-x)(1-x^2)(1-x^5)(1-x^{10})(1-x^{20})(1-x^{50})(1-x^{100})(1-x^{200})}
$$maar dat levert niet veel besparing op.
Zie ook Bedrag betalen.
kphart
29-3-2025
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2025 WisFaq - versie 3
|
