WisFaq!

hallo, ik loop even vast op de uitwerking van deze partiele differentiaalvergelijking:
de basis vorm is u(x,t)= X(x)·T(t) (plaats en tijd)
dit invullen in PDV
\partial ²u/ \partial ²t=a² \partial ²u²/ \partial ²x² geeft
X.T''=a²X''T
scheiden
X''-c/a²X=0
algemene oplossing
X=Ae^(√c/ax+Be^(√c/-ax

dit word omgeschreven naar
X=Acos√c/ax + Bsin√c/ax

deze laatste stap zie ik niet helemaal , ook niet als ik Euler gebruik
gijs
1-4-2025

Antwoord

Ik denk dat het komt omdat je nogal wat stappen hebt overgeslagen.

1. Bij het scheiden kom je eerst op
\frac{T''}{T}=a^2\frac{X''}{X}
met als conclusie dat X''/X en T''/T beide constant zijn. Dus
\frac{X''}{X}=c=a^{-2}\frac{T''}{T}
voor een c. Dat geeft dan X''=c X (dat werkt iets makkelijker).

2. Die c kan niet willekeurig zijn, want we hebben het over een snaar die aan de uiteinden, zeg bij x=0 en x=1, vastzit op hoogte 0. Dus X moet voldoen aan X(0)=X(1)=0.
Dan kan c niet nul zijn, en ook niet positief (dit wordt als het goed is netjes uitgelegd in je boek).

3. Blijft over: c negatief, zeg c=-d met d positief. Dat krijgt je als algemene oplossing
A\mathrm{e}^{ix\sqrt d} + B\mathrm{e}^{-ix\sqrt d}
met de formules van Euler kun je dat ombouwen tot
C\cos(x\sqrt d) + D\sin(x\sqrt d)

4. De eis dat X(0)=X(1)=0 geeft bij x=0 invullen dat C=0 en bij x=1 invullen dat D\sin(\sqrt d)=0. We willen D\neq0, anders hebben we alleen de nulfunctie als oplossing. Dus moet \sin(\sqrt d)=0 gelden, en dus kan \sqrt d alleen een veelvoud van \pi zijn.
kphart
1-4-2025

Re: Differentiaalvergelijking snaar

hallo , bedankt , ik liep vast op stap 3, ik krijg
ae^bx + Be^-bx niet omgeschreven met de formulde van Euler:
cos x =0.5(e^j \emptyset + e^-j \emptyset )
sin x = 1/2j ((e^j \emptyset + e^-j \emptyset ) )
gijs
3-4-2025

Antwoord

Voor wiskundigen is i de imaginaire eenheid, niet de j zoals bij jou.

Dus in stap 3 zou jij A\mathrm{e}^{jx\sqrt d}+B\mathrm{e}^{-jx\sqrt d} opschrijven.
kphart
3-4-2025

Re: Re: Differentiaalvergelijking snaar

ah ok , bij ons was t altijd j (techniek)....maar het ging me meer om het omschrijven van Aejxd+Be−jxd naar de cos en sin
gijs
3-4-2025

Antwoord

Dat gaat via \mathrm{e}^{it}=\cos t+i\sin t. Nu t=x\sqrt d en t=-x\sqrt d invullen.
kphart
3-4-2025