WisFaq!

Differentiaalvergelijking snaar

hallo, ik loop even vast op de uitwerking van deze partiele differentiaalvergelijking:
de basis vorm is u(x,t)= X(x)·T(t) (plaats en tijd)
dit invullen in PDV
\partial ²u/ \partial ²t=a² \partial ²u²/ \partial ²x² geeft
X.T''=a²X''T
scheiden
X''-c/a²X=0
algemene oplossing
X=Ae^(√c/ax+Be^(√c/-ax

dit word omgeschreven naar
X=Acos√c/ax + Bsin√c/ax

deze laatste stap zie ik niet helemaal , ook niet als ik Euler gebruik

gijs
1-4-2025

Antwoord

Ik denk dat het komt omdat je nogal wat stappen hebt overgeslagen.

1. Bij het scheiden kom je eerst op

\frac{T''}{T}=a^2\frac{X''}{X}

met als conclusie dat X''/X en T''/T beide constant zijn. Dus

\frac{X''}{X}=c=a^{-2}\frac{T''}{T}

voor een c. Dat geeft dan X''=c X (dat werkt iets makkelijker).

2. Die c kan niet willekeurig zijn, want we hebben het over een snaar die aan de uiteinden, zeg bij x=0 en x=1, vastzit op hoogte 0. Dus X moet voldoen aan X(0)=X(1)=0.
Dan kan c niet nul zijn, en ook niet positief (dit wordt als het goed is netjes uitgelegd in je boek).

3. Blijft over: c negatief, zeg c=-d met d positief. Dat krijgt je als algemene oplossing

A\mathrm{e}^{ix\sqrt d} + B\mathrm{e}^{-ix\sqrt d}

met de formules van Euler kun je dat ombouwen tot

C\cos(x\sqrt d) + D\sin(x\sqrt d)

4. De eis dat X(0)=X(1)=0 geeft bij x=0 invullen dat C=0 en bij x=1 invullen dat D\sin(\sqrt d)=0. We willen D\neq0, anders hebben we alleen de nulfunctie als oplossing. Dus moet \sin(\sqrt d)=0 gelden, en dus kan \sqrt d alleen een veelvoud van \pi zijn.

kphart
1-4-2025