Re: Wentelen om y-as van een NIET-functie

Dit is een reactie op vraag 98537

Geachte,
Hartelijk dank voor uw snelle antwoord. Voor alle duidelijkheid: er moet toch gewenteld worden om de y-as (Sorry voor het foutje in mijn vraag...)

De opdracht was om het 'begrensde' gebied te wentelen om de y-as. (Ik ging uit van de 2 gebieden in de 2 'waterdruppels'; ik zie niet welke andere gebieden er anders bedoeld zouden zijn) Het antwoord zou 64/105 \pi zijn volgens het antwoordblad...

Waarom kan ik niet gewoon x en y verwisselen en dan gebruiken x²=y²-y³? Maar hoe zit het dan met de grenzen???

Nogmaals hartelijk dank!

Leerling bovenbouw havo-vwo - vrijdag 21 februari 2025

Antwoord

Het verwisselen van x en y betekent dat je het gebied spiegelt in de lijn y=x, en als je dat doet moet je dat gebied om de x-as draaien en dat betekent dat je de vergelijking naar y moet oplossen, met dezelfde ingewikkelde formule als resultaat.

De opgave wordt een stuk makkelijker door poolcoördinaten te gebruiken. We voeren even een derde coördinaat z in en drukken de kromme uit in x en z door z^2=x^2-x^3. Als de die om de z-as (die staat loodrecht op het xy-vlak) draaien. Je krijgt dan dit:

De vergelijking van het oppervlak is dan z^2=(x^2+y^2)-(x^2+y^2)^{\frac32}, en in poolcoördinaten wordt dat z^2=r^2-r^3 (want x=r\cos\theta, en y=r\sin\theta).
In de beschrijving loopt \theta helemaal rond: 0\le\theta\le2\pi, en voor r geldt 0\le r\le1, en voor z komt er -\sqrt{r^2-r^3}\le z\le\sqrt{r^2-r^3}.
De inhoud van het wentellichaam wordt dan

2\pi\cdot\int_0^12\sqrt{r^2-r^3}\cdot r\,\mathrm{d}r

Omdat r positief is kun je er deze integraal van maken: 4\pi\int_0^1r^2\sqrt{1-r}\,\mathrm{d}r en die levert inderdaad het antwoord dat je noemt.

kphart
zaterdag 22 februari 2025

©2004-2025 WisFaq