Wentelen om y-as van een NIET-functie

Geachte,graag uw hulp.
De opgave is deze: bereken de inhoud van het omwentelingslichaam rond de y-as van het ingesloten gebied bij y²= x²-x³
Ik begrijp dat de grafiek bestaat uit 2 takken: y=+/- \sqrt{} (x²-x³)
Bij de pluswortel heb ik de top bepaald. Die zit bij x=2/3 en de bijbehorende y-waarde = \sqrt{} (4/27). Maar verder kom ik eigenlijk niet. Ik zie echt niet hoe ik die 2 ' halve cirkeltjes ' kan wentelen om de x-as.
Ik begrijp ook dat ik de formule onder de integraal x²=y²-y³ moet gebruiken.
Maar hoe? Welke grenzen???

Bij voorbaat dank voor uw antwoord.

Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 20 februari 2025

Antwoord

Je begin met wentelen om de y-as, en later wil je om de x-as draaien. En omdat je y=\pm\sqrt{x^2-x^3} schrijft denk ik dat het om de x-as moet. Kijk naar het plaatje

Als je die kromme om de x-as wentelt krijg je hetzelfde lichaam als wanneer je alleen de bovenkant wentelt. Maar dan is het makkelijk want je moet het kwadraat van de wortel integreren en er komt gewoon

\pi\int_0^1 x^2-x^3\,\mathrm{d}x

Een andere reden waarom ik denk dat er niet om de y-as gewenteld zal worden is dat je dan x (of x^2) in y moet uitdrukken; dat kan met behulp van de formules van Cardano, maar die geven niet echt een mooie uitdrukking om te integreren:

x=\frac13+\frac16\sqrt[3]{8-108y^2+12\sqrt{81y^4-12y^2}}+ \frac16\sqrt[3]{8-108y^2-12\sqrt{81y^4-12y^2}}

En dat beschrijft alleen nog maar het rechterstuk van de `waterdruppel', voor x tussen \frac23 en 1.

kphart
vrijdag 21 februari 2025

©2004-2025 WisFaq