Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs

Ik probeer de volgende stelling te bewijzen (in eerste instantie via formulemanipulatie):

\left( {\begin{array}{*{20}c} {n + 2} \\ k \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 1} \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 2} \\ \end{array}} \right)

Ik weet dat ik n boven k kan extraheren omdat:

\eqalign{\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array}} \right) = \frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k} \right)!}}}

Maar daarna loop ik vast. Kan iemand mij hierbij helpen?
Alvast hartelijk dank.

John B
Student universiteit - vrijdag 1 juni 2018

Antwoord

Dat gaat zo:

\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array}} \right) + 2 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 1} \\ \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ {k - 2} \\ \end{array}} \right) =
\eqalign{\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k} \right)!}} + 2\frac{{n!}}{{\left( {k - 1} \right)!\left( {n - k + 1} \right)!}} + \frac{{n!}}{{(k - 2)!\left( {n - k + 2} \right)!}} =}
\eqalign{ (n - k + 1)(n - k + 2)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} +... }
\eqalign{ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... + 2k\left( {n - k + 2} \right)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} + ... }
\eqalign{ \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,... + k(k - 1)\frac{{n!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} = }
\eqalign{ \frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n - k + 1)(n - k + 2) + 2k\left( {n - k + 2} \right) + k(k - 1)} \right) = }
\eqalign{ \frac{{n!}}{{k!\,\left( {n - k + 2} \right)!}}\left( {(n + 1)(n + 2)} \right) = }
\eqalign{ \frac{{n! \cdot (n + 1)(n + 2)}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} = }
\eqalign{ \frac{{(n + 2)!}}{{k!\left( {n - k + 2} \right)!}} = }
\eqalign{ \left( {\begin{array}{*{20}c} {n + 2} \\ k \\ \end{array}} \right) }

Kijk maar 's goed! Reageren mag altijd...

Naschrift
Een goede vraag zou zijn: 'wat is het algemene principe van deze aanpak?'.

vrijdag 1 juni 2018

Re: Bewijs met formulemanipulatie of combinatorisch bewijs

©2001-2025 WisFaq