\require{AMSmath}
WisFaq - de digitale vraagbaak voor wiskunde en wiskunde onderwijs


Printen

Newton en Raphson

Wat houdt de methode voor differentiëren van Newton en Raphson in. En hoe kan ik de formules afleiden met een plaatje?

v.
Leerling bovenbouw havo-vwo - donderdag 20 februari 2003

Antwoord

q7788img1.gif

De werking van de methode van Newton-Raphson blijkt uit het bovenstaand plaatje. We zoeken het nulpunt $\alpha$ van een bepaalde functie. Kies punt P ergens op de grafiek.
De x-coordinaat van P is x0 de y coordinaat is f(x0)
De raaklijn in P heeft rico f'(x0)=tan $\phi$
Nu geldt tan $\phi$= f'(x0) = f(x0)/(x1-x0)
Hierbij is x1 een punt dat dichter bij het gezochte snijpunt met de x-as ligt dan x0.
Omrekenen levert een formule: x1=x0-(f(x0))/(f'(x0))
En zo is de volgende waarde: x2=x1-(f(x1))/(f'(x1))

Newton Raphson wordt dus niet gebruikt om te differentiëren maar om met behulp van differentiëren nulpunten te benaderen.

Laten we eens kijken of we √2 zo kunnen berekenen.
Welnu √2 is nulpunt van f(x) = x2-2 dan f'(x)=2x

Neem nu als eerste benadering x0=1,6 deze waarde is natuurlijk veel te groot !
Dan wordt x1=x0-(f(x0))/(f'(x0))=1,6-((1,62-2)/(2·1,6))=1,425
vervolgens x2=1,425-((1,4252-2)/(2·1,425))=1,4142544

bereken nu x3 zelf eens en vergelijk het resultaat met √2 op je rekenmachine

Bingo !

Met vriendelijke groet

JaDeX


vrijdag 21 februari 2003

Re: Newton en Raphson

©2001-2024 WisFaq