\require{AMSmath}

Afleiding Dirac functie

Beste ik heb een vraag over hoe men tot de afleiding van de dirac delta functie komt zoals in de bijlage staat vermeld.

Student hbo - zaterdag 15 juni 2024

Antwoord

Je schrijft dat je een vraag hebt over de afleiding, maar ik zie geen vraag. Vermoedelijk wil je weten waar die gelijkheid vandaan komt.

Die komt uit de Forurier-theorie, en met name de Fourier-transformatie.
Ten eerste, een karakteristieke eigenschap van $\delta$ is: voor elke continue functie geldt
$$f(x)=\int_{-\infty}^\infty \delta(x-t)f(t)\,\mathrm{d}t
$$Dus $\delta$ gedraagt zich als een neutraal element voor de convolutie.

Hieruit volgt dat de Fourier-getransformeerde van $\delta$ gelijk is aan de constante functie $1$:
$$2\pi\int_{-\infty}^\infty \delta(t)\mathrm{e}^{-jtx}\,\mathrm{d}t = 1
$$(je boek heeft misschien een iets andere definitie, zonder de $2\pi$ misschien, maar die is met een subtitutie in deze over te voeren).

In je plaatje staat nu net het omgekeerde: de delta-functie is, afgezien van de schaalfactor, de inverse Fourier-getransformeerde van de constante functie $1$.

©2004-2024 WisFaq