Rekenkundig bewijs voor de methode van Van der Blij
We hebben een magisch vierkant van 11 gemaakt via de methode van prof. van der Blij, maar snappen niet hoe we dit rekenkundig uit kunnen leggen. Kunt u ons helpen?
annema
Leerling bovenbouw havo-vwo - zondag 18 mei 2003
Antwoord
Beste Annemarije,
Zo'n bewijs wordt wel een heel verhaal. Hier komt het....hou je vast
De methode van prof. Van der Blij Eerst maar eens heel goed naar de methode om een magisch vierkant van oneven orde te maken kijken. Vaak krijg je dan al een beetje een gevoel voor hoe het bewijs eruit zou moeten zien.
Stap 1 Ik heb hier een voorbeeld genomen van orde 7. Daarin moeten dus de getallen 1 tot en met 49 worden geplaatst met de som der getallen in elke kolom, rij of diagonaal 175.
Je begint met de getallen in 7 rijen te zetten maar dan diagonaal zoals het volgende:
Als we n de orde van het magische vierkant noemen dan kunnen we al een paar eigenschappen zien. In elke schuine rij zien we de getallen (kn+1) tot en met (k+1)n. Je ziet ook dat als dat * een getal (n+1) meer is dan het getal er recht boven. * een getal (n-1) meer dan het getal direct links ervan. Dit zijn eigenscahppen die we straks in het bewijs kunnen gaan gebruiken. Je ziet ook dat de getallen op de diagonalen al op de goede plaats staan. Als je de algemene uitdrukking voor deze getallen vindt kun je straks al heel makkelijk bewijzen dat de som van de diagonalen klopt. Maar dat doen we straks.
Stap 2 Eerst nog verder met de methode van Van der Blij. We gaan nu de getallen buiten het rode vierkant naar binnen schuiven. We beginnen eerst met de middelste kolom. Op de volgende tekening staat aangegeven hoe de getallen binnen het vierkant worden geplaatst. Wat opvalt is dat in die kolom binnen het uiteindelijke vierkant precies de getallen komen te staan die ook al op die kolom stonden voordat je begon met schuiven.
Stap 3 Dan nu de volgende kolom van het magisch vierkant vullen. We kijken naar de kolom direct rechts van het midden. We zien dan dat daar de getallen van die kolom en de allereerste kolom in komen:
Stap 4 Dan nemen we nu de tweede kolom na het midden. Daarin komen de getallen uit die kolom en de tweede kolom. We kunnen nu al een patroon zien ontstaan.
Stap 5 Op deze manier vullen we nu het hele vierkant.
Reken eens bij een paar verschillende Van der Blij vierkanten de som van de kolommen en de rijen in stap 1 (dus voor het vullen van het vierkant) uit. Je ziet dan dat er telkens twee kolom sommen samen de gewenste som hebben. Zoek eens uit welke kolommen dat zijn! Ontdek je een verband? De middelste kolom en rij hebben elk natuurlijk al de gewenste som.
De som der kolommen, rijen en diagonalen Nu is het de kunst om de vermoedens die we nu hebben voor het bewijs om te zetten naar algemene beschrijvingen.
Eerst maar eens uitreken wat de som van een rij, kolom of diagonaal eigenlijk zou moeten zijn. In het vierkant worden de getallen 1 tot en met n2 ingevuld. De som van de getallen van het hele vierkant is dus: 1/2(n2+1)n2=1/2n4+1/2n2 Dit wordt verdeeld in n kolommen of rijen, dus we moeten dit getal nog door n delen. De som van elke rij, kolom of diagonaal is: 1/2n3+1/2n
Diagonalen We beginnen met de diagonaal van links boven naar rechts onder. Daarop staan de getallen: ((n-1)/2)·n+1 tot en met ((n+1)/2)·n Tel je deze getallen op en werk je de vergelijking uit (moet je nog even zelf doen) dan kom je netjes uit op 1/2n3+1/2n
Welke getallen staan er op de andere diagonaal? Schrijf dit op en je kunt de som berekenen en je zult zien dat je weer op 1/2n3+1/2n uitkomt.
De kolommen We beginnen met de middelste kolom. Bovenaan staat getal 1. Elk getal daaronder is (n+1) groter en er zijn precies n getallen. Dus: 1+(1+(n+1))+(1+2·(n+1))+......+(1+(n-1)·(n+1)) = n + (1+2+..+(n-1))·(n+1) = n + (1/2n·(n-1)(n+1)) = n + 1/2n3- 1/2n = 1/2n3+ 1/2n
Op een soortgelijke manier kun je nu voor de andere kolommen gaan bewijzen. Neem bijvoorbeeld x als variabele. Je hebt dan gezien dat kolom x en kolom n+x samen de gewenste som hebben. Stel daar nu weer op dezelfde manier algemene formules voor op. Hetzelfde kun je ook doen voor de rijen.
Als je dit allemaal hebt uitgewerkt, dan zul je zien dat er telkens 1/2n3+ 1/2n uitkomt. Ik hoop dat je een beetje kon volgen hoe je op een idee komt voor de opzet voor een bewijs en hoe het bewijs dan verder opgezet kan worden. Je moet nog wel zelf wat doen, maar dat moet wel lukken. Als het echt niet zelf lukt, laat het dan even weten dan proberen we dat ook weer uit te leggen. Heel veel succes met het uitwerken van het bewijs!
Re: Rekenkundig bewijs voor de methode van Van der Blij
