WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Equivalente afstanden

Zij G een compacte Lie groep en g zijn Lie algebra, we kunnen op G een afstand definiëren via de geodesic distance. Ik vroeg me het volgende af: We weten dat exp:g- $>$ G een lokale diffeomorfisme is, dus er bestaan open U_1 en U_2 omgevingen van 0 en e resp. zodat exp:U_1- $>$ U_2 een diffeomorfisme is, kunnen we een C_1,C_2 $>$ 0 vinden zodanig voor elke Y in U_1, C_1|exp(Y)|_{geod}$ \le $ |Y|_{eucl}$ \le $ C_2|exp(Y)|_{geod}, met andere woorden zijn deze afstanden lokaal equivalent? Alvast bedankt.
Rafik
Student universiteit België - donderdag 6 maart 2025

Antwoord

Dat lijkt me wel: omdat het hier om een diffeomorfisme gaat is er een matrix $M$ zó dat
$$
\operatorname{exp} (x) = Mx +R(x)
$$
voor $x$ nabij $0$, en met $\lim_{x\to0}\frac{R(x)}{\|x\|}=0$. Die matrix is inverteerbaar dus er zijn positieve constanten $a$ en $A$ zó dat $a\|x\|\le \|Mx\|\le A\|x\|$ voor alle $x$. Gecombineerd met de eis op $R$ kun je een omgeving van $0$ vinden waarop je $C_1=\frac12a$ en $C_2=2A$ kunt nemen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 7 maart 2025

Re: Equivalente afstanden