WisFaq!

To print higher-resolution math symbols, click the
Hi-Res Fonts for Printing button on the jsMath control panel.

jsMath

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

\require{AMSmath}

Bewijzen met volledige inductie

\left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array}} \right)^n = 2^{n - 1} \left( {\begin{array}{*{20}c} 2 & n & {n(n + 2)} \\ 0 & 2 & {4n} \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{array}} \right) Hoe kan ik dit bewijzen? Ik snap het. Ik kan wel de stappen maar het lukt niet. Kan mij iemand helpen AUB?

anonie
3de graad ASO - dinsdag 7 maart 2023

Antwoord

Te bewijzen
\begin{pmatrix} 2&1&3\\0&2&4\\0&0&2 \end{pmatrix}^n = 2^{n-1} \begin{pmatrix} 2&n&n(n+2)\\0&2&4n\\0&0&2 \end{pmatrix}
Basis: voor n=1 staat er
\begin{pmatrix} 2&1&3\\0&2&4\\0&0&2 \end{pmatrix} = 2^0 \begin{pmatrix} 2&1&1\cdot(1+2)\\0&2&4\cdot n\\0&0&2 \end{pmatrix}
en dat klopt.

Inductiestap: stel dat voor een n geldt
\begin{pmatrix} 2&1&3\\0&2&4\\0&0&2 \end{pmatrix}^n = 2^{n-1} \begin{pmatrix} 2&n&n(n+2)\\0&2&4n\\0&0&2 \end{pmatrix}
en bewijs van daaruit
\begin{pmatrix} 2&1&3\\0&2&4\\0&0&2 \end{pmatrix}^{n+1} = 2^{n} \begin{pmatrix} 2&n+1&(n+1)(n+3)\\0&2&4(n+1)\\0&0&2 \end{pmatrix}
Dat doe je door
2^{n-1} \begin{pmatrix} 2&n&n(n+2)\\0&2&4n\\0&0&2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2&1&3\\0&2&4\\0&0&2 \end{pmatrix}
netjes uit te vermenigvuldigen en te laten zien dat het product gelijk is aan
2^{n} \begin{pmatrix} 2&n+1&(n+1)(n+3)\\0&2&4(n+1)\\0&0&2 \end{pmatrix}

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 7 maart 2023