\require{AMSmath}

Bewijzen met volledige inductie

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & 1 & 3 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}} \right)^n = 2^{n - 1} \left( {\begin{array}{*{20}c}
2 & n & {n(n + 2)} \\
0 & 2 & {4n} \\
0 & 0 & 2 \\
\end{array}} \right)
$Hoe kan ik dit bewijzen? Ik snap het. Ik kan wel de stappen maar het lukt niet. Kan mij iemand helpen AUB?

anonie
3de graad ASO - dinsdag 7 maart 2023

Antwoord

Te bewijzen
$$\begin{pmatrix}
2&1&3\\0&2&4\\0&0&2
\end{pmatrix}^n
=
2^{n-1}
\begin{pmatrix}
2&n&n(n+2)\\0&2&4n\\0&0&2
\end{pmatrix}
$$Basis: voor $n=1$ staat er
$$\begin{pmatrix}
2&1&3\\0&2&4\\0&0&2
\end{pmatrix}
=
2^0
\begin{pmatrix}
2&1&1\cdot(1+2)\\0&2&4\cdot n\\0&0&2
\end{pmatrix}
$$en dat klopt.

Inductiestap: stel dat voor een $n$ geldt
$$\begin{pmatrix}
2&1&3\\0&2&4\\0&0&2
\end{pmatrix}^n
=
2^{n-1}
\begin{pmatrix}
2&n&n(n+2)\\0&2&4n\\0&0&2
\end{pmatrix}
$$en bewijs van daaruit
$$\begin{pmatrix}
2&1&3\\0&2&4\\0&0&2
\end{pmatrix}^{n+1}
=
2^{n}
\begin{pmatrix}
2&n+1&(n+1)(n+3)\\0&2&4(n+1)\\0&0&2
\end{pmatrix}
$$Dat doe je door
$$2^{n-1}
\begin{pmatrix}
2&n&n(n+2)\\0&2&4n\\0&0&2
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
2&1&3\\0&2&4\\0&0&2
\end{pmatrix}
$$netjes uit te vermenigvuldigen en te laten zien dat het product gelijk is aan
$$2^{n}
\begin{pmatrix}
2&n+1&(n+1)(n+3)\\0&2&4(n+1)\\0&0&2
\end{pmatrix}
$$

kphart
dinsdag 7 maart 2023

©2001-2024 WisFaq