|
|
|
\require{AMSmath}
Norm operator Hilbert ruimte
Beste
Zij H een Hilbert ruimte, neem y en z vast willekeurig. Defineer de operator T(x)= \langle x,z \rangle y. Vraag: Bepaal \|T\|.
Mijn poging: \|T(x)\|=(\langle Tx,Tx\rangle)^{\frac12}=|\langle x,z\rangle|\cdot\|y\|. Nu dacht ik gebruik te maken van Cauchy-Schwarz, waaruit ik krijg dat \|T\|=\|z\|\cdot\|y\| indien x en z linear afhankelijk zijn, anders in het algemeen \|T\|\le \|z\|\cdot\|y\|. Nu ik vermoed dat \|T\|=\|z\|\cdot\|y\|. Maar weet niet hoe ik dit kan concluderen. Alvast Bedankt!
Met vriendelijke groeten
Rafik
Rafik
Student universiteit België - maandag 26 december 2022
Antwoord
Inderdaad: \|Tx\|=|\langle x,z\rangle|\cdot\|y\|, met Cauchy-Schwarz volgt dan
\|Tx\|=|\langle x,z\rangle|\|y\| \le \|x\|\cdot\|z\|\cdot\|y\| = \bigl(\|z\|\cdot\|y\|\bigr)\cdot\|x\| dit geldt voor alle x, dus volgens de definitie van de operatornorm (zoek maar op) volgt dan \|T\|\le \|z\|\cdot\|y\|.
Verder: \|Tz\|=\langle z,z\rangle\|y\|=\|z\|\cdot\bigl(\|z\|\cdot\|y\|\bigr), en dat geeft dan \|T\|\ge \|z\|\cdot\|y\|.
De kern van je verhaal was goed, je conclusies niet helemaal: als x en z afhankelijk zijn kun je niet concluderen dat meteen geldt \|T\|=|z\|\cdot\|y\|, maar alleen, zoals hierboven dat \|T\|\le \|z\|\cdot\|y\| (pas de definitie van de operatornorm maar toe).
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 27 december 2022
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2025 WisFaq - versie 3
|
