Norm operator Hilbert ruimte

Beste

Zij H een Hilbert ruimte, neem y en z vast willekeurig. Defineer de operator T(x)= \langle x,z \rangle y. Vraag: Bepaal \|T\|.

Mijn poging: \|T(x)\|=(\langle Tx,Tx\rangle)^{\frac12}=|\langle x,z\rangle|\cdot\|y\|. Nu dacht ik gebruik te maken van Cauchy-Schwarz, waaruit ik krijg dat \|T\|=\|z\|\cdot\|y\| indien x en z linear afhankelijk zijn, anders in het algemeen \|T\|\le \|z\|\cdot\|y\|. Nu ik vermoed dat \|T\|=\|z\|\cdot\|y\|. Maar weet niet hoe ik dit kan concluderen. Alvast Bedankt!

Met vriendelijke groeten
Rafik

Rafik
Student universiteit België - maandag 26 december 2022

Antwoord

Inderdaad: \|Tx\|=|\langle x,z\rangle|\cdot\|y\|, met Cauchy-Schwarz volgt dan

\|Tx\|=|\langle x,z\rangle|\|y\| \le \|x\|\cdot\|z\|\cdot\|y\| = \bigl(\|z\|\cdot\|y\|\bigr)\cdot\|x\|

dit geldt voor alle x, dus volgens de definitie van de operatornorm (zoek maar op) volgt dan \|T\|\le \|z\|\cdot\|y\|.

Verder: \|Tz\|=\langle z,z\rangle\|y\|=\|z\|\cdot\bigl(\|z\|\cdot\|y\|\bigr), en dat geeft dan \|T\|\ge \|z\|\cdot\|y\|.

De kern van je verhaal was goed, je conclusies niet helemaal: als x en z afhankelijk zijn kun je niet concluderen dat meteen geldt \|T\|=|z\|\cdot\|y\|, maar alleen, zoals hierboven dat \|T\|\le \|z\|\cdot\|y\| (pas de definitie van de operatornorm maar toe).

kphart
dinsdag 27 december 2022

©2001-2025 WisFaq