Gegeven: M is een verplaatsbaar punt op de zijde AB van ΔABC; N ∈ AC zodanig dat CN = MB.
Te Bewijzen: De as (middelloodlijn) van MN gaat door een vast punt P.
Bewijs: We bepalen vooraf het rotatiecentrum van de rotatie die B omzet in C resp. M omzet in N, immers een rotatiecentrum is altijd een vast punt.
We bepalen hiervoor de middelloodlijnen m resp. n van MN resp. van BC. Het snijpunt van m en n resulteert dan in het punt P (zie ook figuur). Er dient nog te worden aangetoond dat het punt P een vast punt is.
Kies dan een arbitraire positie van M op AB resp. van N op AC. Dan zijn de driehoeken ΔBMP en ΔCNP congruent want BP = CP resp. MP = NP ten gevolge van de vooraf gedeclareerde rotatie, én, BM = CN bij het gegeven.
Kiest men nu een 2e positie M' op AB resp. N' op AC, maar zodanig dat BM' = CN' en tekent men de middelloodlijn m' van M'N', dan blijkt m' eveneens door P te gaan (**). Op deze plaats (**) ontbreekt een belangrijke overgang.
Eens die overgang klaar is, gaat het bewijs verder zoals hieronder.
Dit betekent dus dat de afstand van P tot A resp. van P tot B steeds een vaste afstand is, onverschillig de ligging van M op de zijde AB, maar wel zodanig dat steeds MB = NC. Hieruit kan men concluderen dat de as van MN door het vaste punt P zal gaan. Dit punt P komt dus overeen met het rotatiecentrum van de vooraf gedefinieerde rotatie die B omzet C resp. M transformeert in N.
VRAAG: Hoe slaag ik er in om aan te tonen dat m' effectief ook door P gaat? Graag had ik hiervoor een aanwijzing gekregen. Bedankt bij voorbaat.
Yves D
Iets anders - zaterdag 8 januari 2022
Re: Rotatiecentrum bepalen