Gegeven: M is een verplaatsbaar punt op de zijde AB van ΔABC; N ∈ AC zodanig dat CN = MB.
Te Bewijzen: De as (middelloodlijn) van MN gaat door een vast punt P.
Bewijs: We bepalen vooraf het rotatiecentrum van de rotatie die B omzet in C resp. M omzet in N, immers een rotatiecentrum is altijd een vast punt.
We bepalen hiervoor de middelloodlijnen m resp. n van MN resp. van BC. Het snijpunt van m en n resulteert dan in het punt P (zie ook figuur). Er dient nog te worden aangetoond dat het punt P een vast punt is.
Kies dan een arbitraire positie van M op AB resp. van N op AC. Dan zijn de driehoeken ΔBMP en ΔCNP congruent want BP = CP resp. MP = NP ten gevolge van de vooraf gedeclareerde rotatie, én, BM = CN bij het gegeven.
Kiest men nu een 2e positie M' op AB resp. N' op AC, maar zodanig dat BM' = CN' en tekent men de middelloodlijn m' van M'N', dan blijkt m' eveneens door P te gaan (**). Op deze plaats (**) ontbreekt een belangrijke overgang.
Eens die overgang klaar is, gaat het bewijs verder zoals hieronder.
Dit betekent dus dat de afstand van P tot A resp. van P tot B steeds een vaste afstand is, onverschillig de ligging van M op de zijde AB, maar wel zodanig dat steeds MB = NC. Hieruit kan men concluderen dat de as van MN door het vaste punt P zal gaan. Dit punt P komt dus overeen met het rotatiecentrum van de vooraf gedefinieerde rotatie die B omzet C resp. M transformeert in N.
VRAAG: Hoe slaag ik er in om aan te tonen dat m' effectief ook door P gaat? Graag had ik hiervoor een aanwijzing gekregen. Bedankt bij voorbaat.Yves De Racker
8-1-2022
Beste Yves,
Je bent een heel eind op weg. Het helpt om de rotatie met centrum P eens op de gehele lijn AB toe te passen. Dan wordt B naar C geroteerd, en M naar N. En dus de hele lijn AB naar lijn AC.
Het rotatiebeeld van M' bij deze rotatie moet dus wel op AC liggen. En omdat rotatie afstand behoudt...
Met vriendelijke groet,
FvL
8-1-2022
#93219 - Vlakkemeetkunde - Iets anders