WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Niet exacte differentiaalvergelijking

Dit is een reactie op vraag 92973

Dag Klaas Pieter,
Integrerende factor.
Ik berekende dat de beide uitdrukkingen M(y)=2y en N(x)=-y(Mindex (x) en N= niet gelijk zijn en dus de de gegeven DV niet exact is.
Ik zie dan in een cursus( AYRES F.Differential Equations) staan dat we het verschil M(y) en N(x) nemen. Dit verschil delen door N en dan krijgen we toch:
3y/(y²+2)
2y-(-y)=3y.DT resultaat delend door N geeft =3y/(y²+2)
Ik neem dan voor
P(x) =e^(p(x)dx
= e^($\in$(3y/(y²+2))
=e^³/₂ln(y²+2
═ê^(ln (y²+2))³/2 =
=(y²+2)³/2
Punt 2 akkoord.
Punt 3
Daar heb ik IF dus foutief zien staan in de geciteerde cursus. Ik ga er altijd vanuit dat die antwoorden correct zouden zijn, .Maar neen, dus niet steeds ...
Punt 4 akkoord
Punt 5 nog graag wat uitleg nog graag wat uitleg .
Dank voor uw tijd .Sorry voor de overlast
Groetjes
Rik Le
Iets anders - zaterdag 4 december 2021

Antwoord

1. Ik heb in Ayres' boek gekeken en dit gevonden

Kijk nog eens goed: er staat $-g(y)$, dus je moet de primitieve van $-\frac{3y}{{y^2+2}}$ hebben, en die levert de integrerende factor die ik ook gevonden heb: $(y^2+2)^{-\frac32}$. Het recept van Ayres komt voort uit wat ik al eens eerder heb gedaan: stellen dat er een integrerende factor $\varphi$ is die alleen van $y$ afhangt en daar een differentiaalvergelijking voor afleiden. Je krijgt dan
$$\frac{d\varphi}{dy}=\frac{N_x-M_y}{M}\cdot\varphi
$$en de oplossing hiervan levert het recept van Ayres.

5. Als je (de nieuwe) $M$ naar $x$ primitiveert komt er
$$\int\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,dx=\frac{x}{\sqrt{y^2+2}}+h(y)
$$met $h(y)$ een functie van alleen $y$.
De nieuwe $N$ naar $y$ primitiveren levert
$$\int -\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}}-\frac{y}{\sqrt{y^2+2}}\,dy
=\frac{x}{\sqrt{y^2+2}} - \sqrt{y^2+2} +C
$$(beide met een eventuele substitutie: $u=y^2+2$).

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zaterdag 4 december 2021