Kijk nog eens goed: er staat $-g(y)$, dus je moet de primitieve van $-\frac{3y}{{y^2+2}}$ hebben, en die levert de integrerende factor die ik ook gevonden heb: $(y^2+2)^{-\frac32}$. Het recept van Ayres komt voort uit wat ik al eens eerder heb gedaan: stellen dat er een integrerende factor $\varphi$ is die alleen van $y$ afhangt en daar een differentiaalvergelijking voor afleiden. Je krijgt dan
$$\frac{d\varphi}{dy}=\frac{N_x-M_y}{M}\cdot\varphi
$$en de oplossing hiervan levert het recept van Ayres.
5. Als je (de nieuwe) $M$ naar $x$ primitiveert komt er
$$\int\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,dx=\frac{x}{\sqrt{y^2+2}}+h(y)
$$met $h(y)$ een functie van alleen $y$.
De nieuwe $N$ naar $y$ primitiveren levert
$$\int -\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}}-\frac{y}{\sqrt{y^2+2}}\,dy
=\frac{x}{\sqrt{y^2+2}} - \sqrt{y^2+2} +C
$$(beide met een eventuele substitutie: $u=y^2+2$).
kphart
4-12-2021