WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Eerste graad DV tweede lid nul

Dit is een reactie op vraag 92906

Ja, Klaas Pieter, het antwoord in de cursus is derhalve verkeerd.
Toch vind ik nog moeilijkheden bij het afwerken
Het antwoord in de cursus zou dan 2+y²+C√(x²+2) geweest zijn.
Waaraan is de oplossing dan finaal gelijk nu ?
Groetjes en dank voor je tijd.
Rik Le
Iets anders - zaterdag 20 november 2021

Antwoord

De nieuwe differentiaalvergelijking wordt
$$\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x-
\left(\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}} +
\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\right)\,\mathrm{d}y=0
$$Deze is inderdaad exact:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{y}{(y^2+2)^{\frac32}}
=\frac{\partial N}{\partial x}
$$Voor het oplossen moeten we $\int M\,\mathrm{d}x$ en $\int N\,\mathrm{d}y$ hebben.
De eerste is makkelijk:
$$\int\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x = \frac x{\sqrt{y^2+2}} + h_1(y)
$$De tweede is
$$\int -\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y+
\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=\frac x{\sqrt{y^2+2}}+
\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
$$we vinden dus:
$$h_1(y)=\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
$$We gebruiken partiëele integratie:
$$\int(y^2+y)\cdot-\frac y{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=(y^2+y)\cdot\frac1{\sqrt{y^2+2}}-\int\frac{2y+1}{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y
$$Met $\int\frac y{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y=\sqrt{y^2+2}$, en $\int\frac 1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y=\ln(y+\sqrt{y^2+2})$ (tabel) komen we op
$$\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=\frac{y^2+y}{(y^2+2)^{\frac32}}-2\sqrt{y^2+2}-\ln(y+\sqrt{y^2+2}) +C
$$De totale oplossing is dus
$$\frac x{\sqrt{y^2+2}}+
\frac{y^2+y}{(y^2+2)^{\frac32}}-2\sqrt{y^2+2}-\ln(y+\sqrt{y^2+2})=C
$$Met zorgvuldig partieel differentiëren zul je zien dat dit de oplossing van de exacte differentiallvergelijking aan het begin is.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
zondag 21 november 2021