WisFaq!

Re: Eerste graad DV tweede lid nul

Ja, Klaas Pieter, het antwoord in de cursus is derhalve verkeerd.
Toch vind ik nog moeilijkheden bij het afwerken
Het antwoord in de cursus zou dan 2+y²+C√(x²+2) geweest zijn.
Waaraan is de oplossing dan finaal gelijk nu ?
Groetjes en dank voor je tijd.

Rik Lemmens
20-11-2021

Antwoord

De nieuwe differentiaalvergelijking wordt
$$\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x-
\left(\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}} +
\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\right)\,\mathrm{d}y=0
$$Deze is inderdaad exact:
$$\frac{\partial M}{\partial y}=-\frac{y}{(y^2+2)^{\frac32}}
=\frac{\partial N}{\partial x}
$$Voor het oplossen moeten we $\int M\,\mathrm{d}x$ en $\int N\,\mathrm{d}y$ hebben.
De eerste is makkelijk:
$$\int\frac1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}x = \frac x{\sqrt{y^2+2}} + h_1(y)
$$De tweede is
$$\int -\frac{xy}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y+
\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=\frac x{\sqrt{y^2+2}}+
\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
$$we vinden dus:
$$h_1(y)=\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
$$We gebruiken partiëele integratie:
$$\int(y^2+y)\cdot-\frac y{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=(y^2+y)\cdot\frac1{\sqrt{y^2+2}}-\int\frac{2y+1}{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y
$$Met $\int\frac y{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y=\sqrt{y^2+2}$, en $\int\frac 1{\sqrt{y^2+2}}\,\mathrm{d}y=\ln(y+\sqrt{y^2+2})$ (tabel) komen we op
$$\int-\frac{y^2+y^3}{(y^2+2)^{\frac32}}\,\mathrm{d}y
=\frac{y^2+y}{(y^2+2)^{\frac32}}-2\sqrt{y^2+2}-\ln(y+\sqrt{y^2+2}) +C
$$De totale oplossing is dus
$$\frac x{\sqrt{y^2+2}}+
\frac{y^2+y}{(y^2+2)^{\frac32}}-2\sqrt{y^2+2}-\ln(y+\sqrt{y^2+2})=C
$$Met zorgvuldig partieel differentiëren zul je zien dat dit de oplossing van de exacte differentiallvergelijking aan het begin is.

kphart
21-11-2021