WisFaq!

Loading jsMath...

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

\require{AMSmath}

Re: Hoe trek je de wortel uit een complex getal?

Dit is een reactie op vraag 10369

Ik heb gepoogd om de derdemachtswortel uit 1+7/9i√6 en de derdemachtswortel uit 1-7/9i√6 op deze manier op te lossen, maar kom daar niet uit. Kunt u mij stapsgewijs laten zien hoe dat werkt?
Joost
Iets anders - woensdag 9 september 2020

Antwoord

Dat gaat niet algebraïsch; je komt uit op derdegraadsvergelijkingen die je met de formules van Cardano kunt oplossen maar waarin je hetzelfde probleem tegenkomt.

Wat men in de Complexe Analyse doet is het argument, \alpha, van a+b\mathrm{i} nemen, de hoek met de positieve x-as dus, en de modulus van het complexe getal: r=\sqrt{a^2+b^2}.

Dan geldt a+b\mathrm{i}=r(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha) en één van de derdemachtswortels is dan
\sqrt[3]{r}\left(\cos\tfrac13\alpha+\mathrm{i}\sin\tfrac13\alpha\right)
Nu is de \alpha van jouw getal geen `makkelijke' hoek; dus je moet het doen met \alpha=\arctan\frac79\sqrt6.

De andere derdemachtswortels krijg je door met de derdemachtswortels van 1 te vermenigvuldigen.

Addendum: overigens lijken die getallen verdacht veel op de uitkomsten in deze vraag.

Daar ging het om oplossingen van x^3-5x-2=0. Van die vergelijking kun je een van de oplossingen zo zien: x=-2 (vul maar in). Dan kunnen we valsspelen en naar die oplossing toewerken.

Cardano begint met x=u+v te stellen en na uitwerken kom je dan uit op u^3=1+\mathrm{i}\frac79\sqrt6 en v^3=1-\mathrm{i}\frac79\sqrt6. Omdat we weten dat x=-2 een oplossing is willen we zorgen dat u+v=-2, en ook willen we dat v=\overline{u} (complex toegevoegde), dus u=a+b\mathrm{i} en v=a-b\mathrm{i}.

Maar dan krijgen we -2=u+v=2a, dus a=-1. Nu geeft uitwerken van u^3 ons (-1+3b^2)+\mathrm{i}(3b-b^3). Dus moet gelden dat 1=-1+3b^2, of b=\sqrt{\frac23}.

We vinden dus
u=-1+\frac23\sqrt3\mathrm{i} \text{ en } v=-1-\frac23\sqrt3\mathrm{i}
Andere oplossingen vind je dan door u en v met de derdemachtswortels van 1 te vermenigvuldigen.
Zie Wikipedia: cube root

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
vrijdag 11 september 2020