Re: Hoe trek je de wortel uit een complex getal?

Dit is een reactie op vraag 10369

Ik heb gepoogd om de derdemachtswortel uit 1+7/9i√6 en de derdemachtswortel uit 1-7/9i√6 op deze manier op te lossen, maar kom daar niet uit. Kunt u mij stapsgewijs laten zien hoe dat werkt?

Joost
Iets anders - woensdag 9 september 2020

Antwoord

Dat gaat niet algebraïsch; je komt uit op derdegraadsvergelijkingen die je met de formules van Cardano kunt oplossen maar waarin je hetzelfde probleem tegenkomt.

Wat men in de Complexe Analyse doet is het argument, $\alpha$, van $a+b\mathrm{i}$ nemen, de hoek met de positieve $x$-as dus, en de modulus van het complexe getal: $r=\sqrt{a^2+b^2}$.

Dan geldt $a+b\mathrm{i}=r(\cos\alpha+\mathrm{i}\sin\alpha)$ en één van de derdemachtswortels is dan
$$\sqrt[3]{r}\left(\cos\tfrac13\alpha+\mathrm{i}\sin\tfrac13\alpha\right)
$$Nu is de $\alpha$ van jouw getal geen `makkelijke' hoek; dus je moet het doen met $\alpha=\arctan\frac79\sqrt6$.

De andere derdemachtswortels krijg je door met de derdemachtswortels van $1$ te vermenigvuldigen.

Addendum: overigens lijken die getallen verdacht veel op de uitkomsten in deze vraag.

Daar ging het om oplossingen van $x^3-5x-2=0$. Van die vergelijking kun je een van de oplossingen zo zien: $x=-2$ (vul maar in). Dan kunnen we valsspelen en naar die oplossing toewerken.

Cardano begint met $x=u+v$ te stellen en na uitwerken kom je dan uit op $u^3=1+\mathrm{i}\frac79\sqrt6$ en $v^3=1-\mathrm{i}\frac79\sqrt6$. Omdat we weten dat $x=-2$ een oplossing is willen we zorgen dat $u+v=-2$, en ook willen we dat $v=\overline{u}$ (complex toegevoegde), dus $u=a+b\mathrm{i}$ en $v=a-b\mathrm{i}$.

Maar dan krijgen we $-2=u+v=2a$, dus $a=-1$. Nu geeft uitwerken van $u^3$ ons $(-1+3b^2)+\mathrm{i}(3b-b^3)$. Dus moet gelden dat $1=-1+3b^2$, of $b=\sqrt{\frac23}$.

We vinden dus
$$u=-1+\frac23\sqrt3\mathrm{i} \text{ en }
v=-1-\frac23\sqrt3\mathrm{i}
$$Andere oplossingen vind je dan door $u$ en $v$ met de derdemachtswortels van $1$ te vermenigvuldigen.

Zie Wikipedia: cube root

kphart
vrijdag 11 september 2020

©2001-2024 WisFaq