WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Constructie van een driehoek

Dit is een reactie op vraag 90308

Ik heb grondig de Engelstalige site bekeken naar waar je verwees in je antwoord. Ik heb dat omgezet naar mijn tekening die ik begin deze week doorstuurde. Ik voerde de cirkels (K), (K') en (K") in alsook nog een klein cirkeltje C(P, M'P). Verder werd l_a vervangen door d_a. Ik maakte een nieuwe figuur (doorgestuurd via mail!) op basis van de gevolgde techniek beschreven op de site. Ik stelde echter vast dat ondanks het feit dat ik nauwgezet de opgelegde stappen volgde, de gevonden oplossing toch niet klopte, daar AN = d_a een andere lengte heeft dan deze beschreven in het gegeven. Dit is zelfs met het blote oog te zien.

VRAAG: In welk van de 5 stappen maakte ik een fout? Nogmaals hartelijk dank voor uw tussenkomst!

Gegeven: Van ΔABC is gekend ∠A = α, zijde a en deellijn d_a uit A.
Gevraagd: Construeer ΔABC.
Oplossing: Veronderstel even dat ΔABC de gevraagde driehoek zou zijn, waarbij AN overeenkomt met de gegeven deellijn.
Noem K(O, R) de omgeschreven cirkel van ΔABC, M het middelpunt van BC, P het middelpunt van de boog waarop ∠A=α staat. N is het
snijpunt van BC en AP. Het probleem is opgelost als we de lengte van NP kennen. Daartoe stellen we NP = s, MP = h en steun op het feit dat driehoeken ΔMNP en ΔAPZ gelijkvormig zijn. Dit levert volgende relatie op: AP/PZ=MP/NP of
(AN+NP)/PZ=MP/NP of ook (d_a+s)/2R=h/s of
2Rh = (d_a + s)s (1), met R = OP.
Definieer de cirkel (K’) met MZ als diameter (Z tegenpunt van P op (K)). Bepaal M′ op (K’) zodanig dat PM′ = PN en noem Z′
het tweede snijpunt van PM′ met de cirkel (K’). Voor de cirkel (K’) geldt: PZ×PM = PM′×PZ′ of 2Rh = s⋅PZ′ (2). Vergelijk (1) met (2) dan
volgt daar uit dat: PZ′ = s + d_a en M′Z′ = d_a.
Dit leidt tot de volgende constructie:
→ Teken de cirkel (K) met BC = a het lijnstuk dat van elk punt op de boog(BZC) onder de hoek ∠A = α wordt gezien. Laat P het middelpunt van de
tegenovergestelde boog zijn, M het middelpunt van BC, Z de tegenpool van P op de cirkel (K).
→ Teken de cirkel (K’) met middellijn MZ en middelpunt D, en duid er het punt Y op aan zodanig dat YZ = d_a.
→ Noem (K’’) de cirkel met middelpunt D en rakend aan YZ=d_a .
→ Teken de raaklijn uit P aan (K”) en bepaal het snijpunt M’ van die raaklijn met (K’).
→ Teken dan C(P, M’P) die BC snijdt in N. Construeer dan de lijn NP die (K) snijdt in A. Koorde AP van (K) gaat dus door N. Tevens geldt er: AP = PZ′.
Dit geeft A als het gezochte hoekpunt van ΔABC.

Yves D
Iets anders - woensdag 5 augustus 2020

Antwoord

Beste Yves,

In jouw figuur ligt punt Y niet op (K'), maar op (K) (tweede stap).

Met vriendelijke groet,

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 6 augustus 2020