VRAAG: In welk van de 5 stappen maakte ik een fout? Nogmaals hartelijk dank voor uw tussenkomst!
Gegeven: Van ΔABC is gekend ∠A = α, zijde a en deellijn d_a uit A.
Gevraagd: Construeer ΔABC.
Oplossing: Veronderstel even dat ΔABC de gevraagde driehoek zou zijn, waarbij AN overeenkomt met de gegeven deellijn.
Noem K(O, R) de omgeschreven cirkel van ΔABC, M het middelpunt van BC, P het middelpunt van de boog waarop ∠A=α staat. N is het
snijpunt van BC en AP. Het probleem is opgelost als we de lengte van NP kennen. Daartoe stellen we NP = s, MP = h en steun op het feit dat driehoeken ΔMNP en ΔAPZ gelijkvormig zijn. Dit levert volgende relatie op: AP/PZ=MP/NP of
(AN+NP)/PZ=MP/NP of ook (d_a+s)/2R=h/s of
2Rh = (d_a + s)s (1), met R = OP.
Definieer de cirkel (K’) met MZ als diameter (Z tegenpunt van P op (K)). Bepaal M′ op (K’) zodanig dat PM′ = PN en noem Z′
het tweede snijpunt van PM′ met de cirkel (K’). Voor de cirkel (K’) geldt: PZ×PM = PM′×PZ′ of 2Rh = s⋅PZ′ (2). Vergelijk (1) met (2) dan
volgt daar uit dat: PZ′ = s + d_a en M′Z′ = d_a.
Dit leidt tot de volgende constructie:
→ Teken de cirkel (K) met BC = a het lijnstuk dat van elk punt op de boog(BZC) onder de hoek ∠A = α wordt gezien. Laat P het middelpunt van de
tegenovergestelde boog zijn, M het middelpunt van BC, Z de tegenpool van P op de cirkel (K).
→ Teken de cirkel (K’) met middellijn MZ en middelpunt D, en duid er het punt Y op aan zodanig dat YZ = d_a.
→ Noem (K’’) de cirkel met middelpunt D en rakend aan YZ=d_a .
→ Teken de raaklijn uit P aan (K”) en bepaal het snijpunt M’ van die raaklijn met (K’).
→ Teken dan C(P, M’P) die BC snijdt in N. Construeer dan de lijn NP die (K) snijdt in A. Koorde AP van (K) gaat dus door N. Tevens geldt er: AP = PZ′.
Dit geeft A als het gezochte hoekpunt van ΔABC.
Yves De Racker
5-8-2020