WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Re: Re: Verhouding van een lijnstuk

Dit is een reactie op vraag 89429

Sorry ik begrijp er echt helemaal niets van, ik neem aan dat mijn uitkomst p²+4pq-q² niet op te lossen is, of is dit niet waar ik op uit moet komen bij het gebruiken van cos$\Phi$₁=cos$\Phi$₂?

Verder begrijp ik niet dat als bij de deelijnvector d=(p,q) als p=1 dan de richtingsvector 1/(√5-2)=√5-2 is, hoe zie je dat? En dat dit ook hetzelfde is als (3-√5)/1+√5 zie ik ook niet zo snel mischien als ik vermenigvuldig met teller en noemer met 1+√5?
mboudd
Leerling mbo - woensdag 25 maart 2020

Antwoord

Je stelt dat de richtingsvector van de deellijn $(p,q)$ is en berekent vervolgens de hoeken met de vectoren AB en AC. Je stelt dat de hoeken gelijk moeten zijn. Je vindt dan een verband tussen $p$ en $q$.

So far so good!!!

De waarde van $p$ en $q$ liggen echter niet eenduidig vast! Neem 's aan dat je gevonden had dat $p=3q$. Je kunt dan als richtingsvector de vector $(3,1)$ kunnen nemen of $(-12,-4)$ of wat dan ook. Als je maar zorgt dat er geldt dat $p=3q$.

In ons geval hebben we ook een verband tussen $p$ en $q$ gevonden:

$p^2+4pq-q^2=0$

Nu zijn alle waarden voor $p$ en $q$ goed als ze maar voldoen aan de vergelijking. Dus als $p=1$ kan je $q$ uitrekenen:

$
\eqalign{
& 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot q - q^2 = 0 \cr
& q^2 - 4q - 1 = 0 \cr
& ... \cr
& q = 2 - \sqrt 5 \vee q = 2 + \sqrt 5 \cr}
$

Neem $
q = 2 + \sqrt 5
$

Dus kennelijk is $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{2 + \sqrt 5 } \\
\end{array}} \right)
$ een geschikte richtingsvector voor de deellijn.

De vectorvoorstelling voor de deellijn is:

$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
\end{array}} \right) = \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{2 + \sqrt 5 } \\
\end{array}} \right)
$

Daarmee zou voor mij de vraag beantwoord zijn. Op het staartje na heb je dat prima gedaan!

Duidelijk?

Naschrift
De rest van mijn berekeningen waren bedoeld om te laten zien dat het antwoord in het antwoordmodel feitelijk gelijkwaardig is. Net als bij die $(3,1)$ en $(-12,-4)$. Daar zou ik, als ik jou was, verder niet al te druk om maken.

$
\eqalign{
& \frac{1}
{{\sqrt 5 + 2}} \cdot \frac{{\sqrt 5 - 2}}
{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}
{{5 - 4}} = \sqrt 5 - 2 \cr
& \frac{{3 - \sqrt 5 }}
{{1 + \sqrt 5 }} \cdot \frac{{1 - \sqrt 5 }}
{{1 - \sqrt 5 }} = \frac{{8 - 4\sqrt 5 }}
{{1 - 5}} = \frac{{8 - 4\sqrt 5 }}
{{ - 4}} = \sqrt 5 - 2 \cr}
$

Denk aan $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$

Naschrift 2
We hadden hierboven ook nog $
q = 2 - \sqrt 5
$ gevonden. Waar komt dat vandaag?

Wel aan... dat zal de andere deellijn zijn!

Maar in dit geval waren we op zoek naar de deellijn van de hoek BAC.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 25 maart 2020