So far so good!!!
De waarde van $p$ en $q$ liggen echter niet eenduidig vast! Neem 's aan dat je gevonden had dat $p=3q$. Je kunt dan als richtingsvector de vector $(3,1)$ kunnen nemen of $(-12,-4)$ of wat dan ook. Als je maar zorgt dat er geldt dat $p=3q$.
In ons geval hebben we ook een verband tussen $p$ en $q$ gevonden:
$p^2+4pq-q^2=0$
Nu zijn alle waarden voor $p$ en $q$ goed als ze maar voldoen aan de vergelijking. Dus als $p=1$ kan je $q$ uitrekenen:
$
\eqalign{
& 1^2 + 4 \cdot 1 \cdot q - q^2 = 0 \cr
& q^2 - 4q - 1 = 0 \cr
& ... \cr
& q = 2 - \sqrt 5 \vee q = 2 + \sqrt 5 \cr}
$
Neem $
q = 2 + \sqrt 5
$
Dus kennelijk is $
\left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{2 + \sqrt 5 } \\
\end{array}} \right)
$ een geschikte richtingsvector voor de deellijn.
De vectorvoorstelling voor de deellijn is:
$
\left( {\begin{array}{*{20}c}
x \\
y \\
\end{array}} \right) = \mu \left( {\begin{array}{*{20}c}
1 \\
{2 + \sqrt 5 } \\
\end{array}} \right)
$
Daarmee zou voor mij de vraag beantwoord zijn. Op het staartje na heb je dat prima gedaan!
Duidelijk?
Naschrift
De rest van mijn berekeningen waren bedoeld om te laten zien dat het antwoord in het antwoordmodel feitelijk gelijkwaardig is. Net als bij die $(3,1)$ en $(-12,-4)$. Daar zou ik, als ik jou was, verder niet al te druk om maken.
$
\eqalign{
& \frac{1}
{{\sqrt 5 + 2}} \cdot \frac{{\sqrt 5 - 2}}
{{\sqrt 5 - 2}} = \frac{{\sqrt 5 - 2}}
{{5 - 4}} = \sqrt 5 - 2 \cr
& \frac{{3 - \sqrt 5 }}
{{1 + \sqrt 5 }} \cdot \frac{{1 - \sqrt 5 }}
{{1 - \sqrt 5 }} = \frac{{8 - 4\sqrt 5 }}
{{1 - 5}} = \frac{{8 - 4\sqrt 5 }}
{{ - 4}} = \sqrt 5 - 2 \cr}
$
Denk aan $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$
Naschrift 2
We hadden hierboven ook nog $
q = 2 - \sqrt 5
$ gevonden. Waar komt dat vandaag?
Wel aan... dat zal de andere deellijn zijn!
Maar in dit geval waren we op zoek naar de deellijn van de hoek BAC.
WvR
25-3-2020