WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Continuiteit

Hoi, ik begrijp bij het volgende vraag stuk niet wat ze bedoelen in 't antwoord:bij b. en c. Kan iemand me dit duidelijker maken bij voorbaat dank.

Gegeven de functie: f(x)=(x²-9)/|x-3|
Bepaal f'(x)
Ik heb:
f'(x)=1 voor x$>$3
f'(x)=-1 voor x$<$3 ( deze heb ik goed)
Bepaal f'(1), f'(2), f'(4),en f'(5)
Wat merk je op?wat is de wiskundige betekinis hiervan?
In het boek geven ze als antwoord: alle rc's zijn -1 of 1
Moet ik de grafiek plotten om dit te zien?
f is discontinu voor x= 3 is deze discontinuïteit ophefbaar? Zo ja, hoe?zo nee,waarom niet?
Het boek geeft als antwoord:
Alle rc's zijn -1 of 1, de grafiek moet dus bestaan uit twee rechten, niet ophefbaar omdat voor x$\to$3 linker en rechterlimiet niet eenduidig zijn.

Mboudd
Leerling mbo - dinsdag 29 januari 2019

Antwoord

Lijkt me in orde.
Gebruik wat je bij a. gevonden hebt. $f'(1)=-1$ omdat $x<3$ $f'(2)=-1$ (idem dito) $f'(4)=1$ want $x>3$ enzovoort. Je hebt te maken met twee lijnen met links van $x=3$ een richtingscoëfficiënt van -1 en rechts een richtingscoëfficiënt van 1. Je kunt ze gemakkelijk schetsen. $y=-x-3$ voor $x<3$ en $y=x+3$ voor $x>3$.
Om continu te zijn moet de linker- en de rechterlimiet voor $x=3$ gelijk zijn aan de functiewaarde bij $x=3$. Dat is hier niet het geval:

$
\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 3} \frac{{x^2 - 9}}
{{\left| {x - 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 3} \frac{{x^2 - 9}}
{{ - x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 3} - x - 3 = - 6 \cr
& \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 3} \frac{{x^2 - 9}}
{{\left| {x - 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 3} \frac{{x^2 - 9}}
{{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 3} x + 3 = 6 \cr
& f(3):{\text{niet}}\,\,{\text{gedefinieerd}} \cr}
$

Daar is verder niets meer aan te doen, dus de discontinuiteit is niet ophefbaar.

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
woensdag 30 januari 2019