WisFaq!

Continuiteit

Hoi, ik begrijp bij het volgende vraag stuk niet wat ze bedoelen in 't antwoord:bij b. en c. Kan iemand me dit duidelijker maken bij voorbaat dank.

Gegeven de functie: f(x)=(x²-9)/|x-3|

1. Bepaal f'(x)
   Ik heb:
   f'(x)=1 voor x$>$3
   f'(x)=-1 voor x$<$3 ( deze heb ik goed)
   
2. Bepaal f'(1), f'(2), f'(4),en f'(5)
   Wat merk je op?wat is de wiskundige betekinis hiervan?
   In het boek geven ze als antwoord: alle rc's zijn -1 of 1
   Moet ik de grafiek plotten om dit te zien?
   
3. f is discontinu voor x= 3 is deze discontinuïteit ophefbaar? Zo ja, hoe?zo nee,waarom niet?
   Het boek geeft als antwoord:
   Alle rc's zijn -1 of 1, de grafiek moet dus bestaan uit twee rechten, niet ophefbaar omdat voor x$\to$3 linker en rechterlimiet niet eenduidig zijn.

Mboudd
29-1-2019

Antwoord

1. Lijkt me in orde.
   
2. Gebruik wat je bij a. gevonden hebt. $f'(1)=-1$ omdat $x<3$ $f'(2)=-1$ (idem dito) $f'(4)=1$ want $x>3$ enzovoort. Je hebt te maken met twee lijnen met links van $x=3$ een richtingscoëfficiënt van -1 en rechts een richtingscoëfficiënt van 1. Je kunt ze gemakkelijk schetsen. $y=-x-3$ voor $x<3$ en $y=x+3$ voor $x>3$.
   
3. Om continu te zijn moet de linker- en de rechterlimiet voor $x=3$ gelijk zijn aan de functiewaarde bij $x=3$. Dat is hier niet het geval:
   
   $
   \eqalign{
   & \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 3} \frac{{x^2 - 9}}
   {{\left| {x - 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 3} \frac{{x^2 - 9}}
   {{ - x + 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \uparrow 3} - x - 3 = - 6 \cr
   & \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 3} \frac{{x^2 - 9}}
   {{\left| {x - 3} \right|}} = \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 3} \frac{{x^2 - 9}}
   {{x - 3}} = \mathop {\lim }\limits_{x \downarrow 3} x + 3 = 6 \cr
   & f(3):{\text{niet}}\,\,{\text{gedefinieerd}} \cr}
   $

Daar is verder niets meer aan te doen, dus de discontinuiteit is niet ophefbaar.

WvR
30-1-2019