|
|
|
\require{AMSmath}
Limietdefinitie
Hallo,
Gegeven is de rij {an} met positieve termen (an} > 0 voor alle n uit N, Toon aan met behulp van limietdefinitie dat als {an} convergeert naar 3, dan convergeert de rij {a2n} naar 9
Kunnen jullie toelichten hoe dit aangepakt moet worden aangezien ik het antwoord niet snap
Jaap
Student universiteit - maandag 1 oktober 2018
Antwoord
Stap 1: analyseer het verschil: |a_n^2-9|=|a_n-3|\cdot|a_n+3|. Je weet dat je |a_n-3| willekeurg klein kunt krijgen, want \lim_na_n=3, maar wat te doen met |a_n+3|?
Stap 2. Gebruik weer dat de rij naar 3 convergeert om aan te tonen dat de rij begrensd is: er is een M zo dat voor n\ge M geldt |a_n-3|<1. Voor n\ge M geldt dan dus 2 < a_n < 4 en dus 5 < a_n+3 < 7. Neem ook nog K=\max\{|a_i+3|:i\le M\}. Dan geldt voor alle n dat |a_n+3|\le\max\{K,7\}.
Stap 3. Noem dat laatste maximum even L dan volgt nu
|a_n^2-9|\le L\cdot|a_n-3| Stap 4. Nu begin het echte bewijs: zij \varepsilon > 0 en neem N zo dat voor n\ge N geldt |a_n-3|<\varepsilon/L (gebruik de definitie). Voor n\le N geldt dan ook dat |a_n^2-9|<\varepsilon.
kphart
|
Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
dinsdag 2 oktober 2018
|
|
home |
vandaag |
bijzonder |
gastenboek |
statistieken |
wie is wie? |
verhalen |
colofon
©2001-2025 WisFaq - versie 3
|
