WisFaq!

Limietdefinitie

Hallo,

Gegeven is de rij {a_n} met positieve termen (a_n} $>$ 0 voor alle n uit N, Toon aan met behulp van limietdefinitie dat als {a_n} convergeert naar 3, dan convergeert de rij {a²_n} naar 9

Kunnen jullie toelichten hoe dit aangepakt moet worden aangezien ik het antwoord niet snap

Jaap
1-10-2018

Antwoord

Stap 1: analyseer het verschil: $|a_n^2-9|=|a_n-3|\cdot|a_n+3|$. Je weet dat je $|a_n-3|$ willekeurg klein kunt krijgen, want $\lim_na_n=3$, maar wat te doen met $|a_n+3|$?

Stap 2. Gebruik weer dat de rij naar $3$ convergeert om aan te tonen dat de rij begrensd is: er is een $M$ zo dat voor $n\ge M$ geldt $|a_n-3|$<$1$. Voor $n\ge M$ geldt dan dus $2 < a_n < 4$ en dus $5 < a_n+3 < 7$. Neem ook nog $K=\max\{|a_i+3|:i\le M\}$. Dan geldt voor alle $n$ dat $|a_n+3|\le\max\{K,7\}$.

Stap 3. Noem dat laatste maximum even $L$ dan volgt nu
$$
|a_n^2-9|\le L\cdot|a_n-3|
$$Stap 4. Nu begin het echte bewijs: zij $\varepsilon > 0$ en neem $N$ zo dat voor $n\ge N$ geldt $|a_n-3|<\varepsilon/L$ (gebruik de definitie). Voor $n\le N$ geldt dan ook dat $|a_n^2-9|<\varepsilon$.

kphart
2-10-2018