WisFaq!

De digitale vraagbaak voor het wiskundeonderwijs

HOME

samengevat

\require{AMSmath}

Re: Gooien met 2 dobbelstenen

Dit is een reactie op vraag 86225

Inderdaad bewerkelijker dan ik dacht. Is dit ook het geval voor het volgende probleem wat er wel een beetje op lijkt:

Je gooit steeds met 2 dobbelstenen. Hoeveel keer moet je gemiddeld gooien om in ieder geval 2 verschillende ogen (getallen) te krijgen. Als je geluk hebt, heb je maar één worp nodig (kans 30/36).

Uit simulaties komt een waarde van circa 1.1714 maar hoe bereken je dit exact.
Dirk
Ouder - donderdag 17 mei 2018

Antwoord

Net als bij het eerdere antwoord: bereken eerst de kans $P(X\le n)$. Hier is dat eenvoudig omdat $1-P(X\le n)$ de kans is dat je bij $n$ worpen altijd dezelfde waarde krijgt en die is $6\cdot\left(\frac1{36}\right)^n$ (voor elk aantal ogen $n$ keer die waarde dubbel gooien).
Dus $P(X\le n)=1- 6\cdot\left(\frac1{36}\right)^n$, en voor $n\ge2$ krijgt je dan
$$
P(X=n)=P(X\le n)-P(X\le n-1)=6\left(\left(\frac1{36}\right)^{n-1} - \left(\frac1{36}\right)^n\right) = \frac{35}6 \left(\frac1{36}\right)^{n-1}
$$
De verwachting is dus
$$
\frac{30}{36}+ \frac{35}6 \sum_{n=2}^\infty n\cdot\left(\frac1{36}\right)^{n-1}
$$
Met behulp van de formule
$$
\sum_{n=2}^\infty nx^{n-1} = \frac1{(1-x)^2}-1
$$
kun je die som uitrekenen: er komt $41/35$ uit.

Om dit soort dingen uit te rekenen moet je dus handig met oneindige sommen om kunnen gaan, en individuele kansen uit kunnen rekenen.

kphart

Vragen naar aanleiding van dit antwoord? Klik rechts..!
donderdag 17 mei 2018